洛谷 - P3321 [SDOI2015]序列统计(原根+NTT)

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题目大意：给出一个集合 SSS，集合中的数是 [0,m)[0,m)[0,m) 且互不相同的，问从集合中选 nnn 次数字，且乘积对 mmm 取模后等于 xxx 的方案数有多少

题目分析：

考虑转移方程，我们设 f[i][j]f[i][j]f[i][j] 为选了 iii 个数后，乘积对 mmm 取余后为 jjj 的方案数，那么自然有 f[i+1][j]=∑ab≡j(modm)f[i][a]∗f[i][b]f[i+1][j]=\sum\limits_{ab\equiv j \pmod m}f[i][a]*f[i][b]f[i+1][j]=ab≡j(modm)∑f[i][a]∗f[i][b]

需要注意到本题的 mmm 是一个特别小的质数，不难想到原根，设 ggg 为 mmm 的原根，可以得到一个性质就是 g1,g2,...,gm−1g^1,g^2,...,g^{m-1}g1,g2,...,gm−1 各不相同，且值域属于 [1,m)[1,m)[1,m)

所以将每个数换成其原根对应的数字后就可以化乘为加了，设 gA≡a(modm)g^A \equiv a \pmod mgA≡a(modm) 更具体的，原转移方程就可以书写为： f[i+1][j]=∑gAgB≡gJ(modm)f[i][A]∗f[i][B]f[i+1][j]=\sum\limits_{g^Ag^B\equiv g^J \pmod m}f[i][A]*f[i][B]f[i+1][j]=gAgB≡gJ(modm)∑f[i][A]∗f[i][B] 因为 mmm 是质数，所以根据费马小定理降幂得到：f[i+1][j]=∑gA+B(modm−1)≡gJ(modm)f[i][A]∗f[i][B]f[i+1][j]=\sum\limits_{g^{A+B\pmod {m-1}}\equiv g^J \pmod m}f[i][A]*f[i][B]f[i+1][j]=gA+B(modm−1)≡gJ(modm)∑f[i][A]∗f[i][B]

即 f[i+1][j]=∑A+B≡J(modm−1)f[i][A]∗f[i][B]f[i+1][j]=\sum\limits_{A+B\equiv J \pmod {m-1}}f[i][A]*f[i][B]f[i+1][j]=A+B≡J(modm−1)∑f[i][A]∗f[i][B]

又因为每层的卷积的转移方程是相同的，可以用快速幂优化NTT，时间复杂度为 O(m∗logm∗logn)O(m*logm*logn)O(m∗logm∗logn)

有几个小细节需要注意：

因为模数从 mmm 变成了 m−1m-1m−1，原本 gm−1≡1(modm)g^{m-1}\equiv 1 \pmod mgm−1≡1(modm)，这里的指数需要对 m−1m-1m−1 取模，换算到本题中应该变成 gm−1=g0=1g^{m-1}=g^{0}=1gm−1=g0=1，所以当原数为 111 时，对应的原根的指数应该为 000，几乎没有题解说明这个细节，自己想了好久才明白的
SSS 集合中的 000 是没有贡献的，直接忽略即可
每次卷完之后，因为下标的取值是 [0,2∗(m−1))[0,2*(m-1))[0,2∗(m−1)) 的，所以需要将 [m−1,2∗(m−1))[m-1,2*(m-1))[m−1,2∗(m−1)) 这一部分的答案加到 [0,m−1)[0,m-1)[0,m−1) 上去

代码：

// Problem: P3321 [SDOI2015]序列统计
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P3321
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
const int mod=1004535809,G=3,Gi=(mod+1)/3;
bool vis[8010];
int n,m,limit = 1,L,r[N],p[8010];
LL a[N],ans[N];
inline LL fastpow(LL a, LL k) {LL base = 1;while(k) {if(k & 1) base = (base * a ) % mod;a = (a * a) % mod;k >>= 1;}return base % mod;
}
inline void NTT(LL *A, int type) {for(int i = 0; i < limit; i++) if(i < r[i]) swap(A[i], A[r[i]]);for(int mid = 1; mid < limit; mid <<= 1) {    LL Wn = fastpow( type == 1 ? G : Gi , (mod - 1) / (mid << 1));for(int j = 0; j < limit; j += (mid << 1)) {LL w = 1;for(int k = 0; k < mid; k++, w = (w * Wn) % mod) {int x = A[j + k], y = w * A[j + k + mid] % mod;A[j + k] = (x + y) % mod,A[j + k + mid] = (x - y + mod) % mod;}}}if(type==-1) {LL inv=fastpow(limit,mod-2);for(int i=0;i<limit;i++) {A[i]=(A[i]*inv)%mod;}}
}
void q_pow(int n) {ans[0]=1;while(n) {NTT(a,1);if(n&1) {NTT(ans,1);for(int i=0;i<limit;i++) {ans[i]=ans[i]*a[i]%mod;}NTT(ans,-1);for(int i=limit-1;i>=m-1;i--) {ans[i-m+1]=(ans[i-m+1]+ans[i])%mod;ans[i]=0;}}for(int i=0;i<limit;i++) {a[i]=a[i]*a[i]%mod;}NTT(a,-1);for(int i=limit-1;i>=m-1;i--) {a[i-m+1]=(a[i-m+1]+a[i])%mod;a[i]=0;}n>>=1;}
}
int find_root(int mod)
{for(int i=2;i<mod;i++){memset(vis,false,sizeof(vis));bool flag=true;int x=i;for(int j=1;j<=mod-1;j++){if(vis[x]){flag=false;break;}vis[x]=true;x=x*i%mod;}if(flag)return i;}return -1;
}
int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);int x,S;read(n),read(m),read(x),read(S);while(limit<=m+m) limit<<=1,L++;for(int i=0;i<limit;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));int rt=find_root(m);int sum=1;for(int i=1;i<m-1;i++) {sum=sum*rt%m;p[sum]=i;}for(int i=0,x;i<S;i++) {read(x);if(x) {a[p[x]]=1;}}q_pow(n);cout<<ans[p[x]]<<endl;return 0;
}

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