一、增广矩阵

　假设我们要求解方程$Ax=b$，其中矩阵$A$和$b$如下所示：

$A = \left[\begin{array}{llll}{1} & {2} & {2} & {2} \\ {2} & {4} & {6} & {8} \\ {3} & {6} & {8} & {10}\end{array}\right]$

$b = \left[\begin{array}{llll}{b_1}\\ {b_2}\\{b_3}\end{array}\right]$

　我们可以在矩阵$A$右侧加上一列b，得到：

$\left[\begin{array}{llll}{1} & {2} & {2} & {2} & {b_1} \\ {2} & {4} & {6} & {8}& {b_2} \\ {3} & {6} & {8} & {10}& {b_3}\end{array}\right]$

此即为增广矩阵：即A和b一块二考虑

二、可解性

　方程$Ax=b$可解的条件是：当$b$属于$A$的列空间时

　换一种说法：如果矩阵$A$各行的线性组合得到零行，那么$b$分量执行相同的操作也必须得到零向量（参考上面的矩阵$A$）

三、求$Ax=b$所有解

　第一步：求一个特解

　　将所有自由变量设为0

　　我们将增广矩阵进行消元后：

$\begin{array}{l}{\left[\begin{array}{}{1} & {2} & {2} & {2} & {b_{1}} \\ {0} & {0} & {2} & {4} & {b_{2}-2 b_{1}} \\ {0} & {0} & {0} & {0} &{b_{3}-b_{2}-b_{1}}\end{array}\right]} \\ {} \end{array}$

　　方程有解的条件便是：$O=b_{3}-b_{2}-b_{1}$，假设$b=\left[\begin{array}{l}{1} \\ {5} \\ {6}\end{array}\right]$，则消元矩阵为：

$\begin{array}{l}{\left[\begin{array}{}{1} & {2} & {2} & {2} & {1} \\ {0} & {0} & {2} & {4} & {3} \\ {0} & {0} & {0} & {0} &{0}\end{array}\right]} \\ {}\end{array}$

　　然后求出主变量：

　　　针对上面的例子，$x_2, x_4 = 0$，则求主变量过程简化为：

$x_{1}+2 x_{3}=1$
$2 x_{3}=3$

　　　于是一个特解为：$x_p = \left[\begin{array}{c}{-2} \\ {0} \\ {3/2} \\ {0}\end{array}\right]$

　　还记得07）节中的零空间吗？可以去看看，于是我们的通解为：即特解和零空间

$X = \left[\begin{array}{c}{-2} \\ {0} \\ {3/2} \\ {0}\end{array}\right]+C_{1}\left[\begin{array}{c}{-2} \\ {1}\\ {0} \\ {0}\end{array}\right]+ C_{2}\left[\begin{array}{c}{2} \\ {0} \\ {-2} \\ {1}\end{array}\right]$