堆（基本介绍，代码实现，以及例题）

1.堆的功能

1.插入一个数
2.求集合当中最小值
3.删除最小值
（1-3stl能做）
4.删除任意一个元素
5.修改任意一个元素

堆的两个重要性质：
堆是一棵完全二叉树
小根堆：每一个结点的值都小于等于左右儿子

2.堆的存储

用数组存储，1号点是根节点，x的左儿子是2x，右儿子是2x+1
下标从1开始比较方便
ph中p是指针，h是堆

3.堆的函数

down(x)，往下调整
up(x)，往上调整
heap_swap，交换元素和映射

down和up操作

假设有一个堆是这样的

很显然结点3不满足堆的性质，这时我们对其进行down操作
先比较3、1、4谁更小，明显1更小，越小越优秀，于是我们把1拿上来，3放下去。

这时我们继续对结点3进行down操作，比较3、2、5的大小，2是最小的，于是交换2和3

这样down操作就完成了。
up操作同理，只不过是up操作的结点只需要与父亲结点比较就可以了。

5.堆的初始化

假设有三个元素：213，初始化时，三个结点都是独立的堆

首先，我们区n/2（n在这里是3）的元素，它的孩子结点是1和3，且1和3都是堆

然后我们对2进行down操作

这样，堆的初始化就完成了。

6.删除堆中最小的元素

先把堆中最后一个结点和根结点互换，然后删除最后一个结点，再对新的根结点进行down操作。

ACWING838 堆排序
输入一个长度为 n 的整数数列，从小到大输出前 m 小的数。

输入格式
第一行包含整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

输出格式
共一行，包含 m 个整数，表示整数数列中前 m 小的数。

数据范围
1≤m≤n≤105，
1≤数列中元素≤109
输入样例：
5 3
4 5 1 3 2
输出样例：
1 2 3

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;
int h[N], sz, n, m;
void down(int u)
{int t = u;if(u * 2 <= sz && h[u * 2] < h[t])t = u * 2;if(u * 2 + 1 <= sz && h[u * 2 + 1] < h[t])t = u * 2 + 1;if(u != t){swap(h[u], h[t]);down(t);}
}
int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cin >> n >> m;sz = n;for(int i = 1; i <= n; i++)cin >> h[i];for(int i = n / 2; i; i--)down(i);while(m--){cout << h[1] << ' ';h[1] = h[sz--];down(1);}return 0;
}

这道题主要注意初始化堆时要从n/2开始。因为要从满足以下性质的结点开始down：
1.左右儿子满足堆的性质。
2.下标最大（因为要往上遍历）
3.不是叶结点（叶节点一定满足堆的性质）

堆排序的时间复杂度是O（n*logn）

ACWING839 模拟堆
维护一个集合，初始时集合为空，支持如下几种操作：
“I x”，插入一个数x；
“PM”，输出当前集合中的最小值；
“DM”，删除当前集合中的最小值（数据保证此时的最小值唯一）；
“D k”，删除第k个插入的数；
“C k x”，修改第k个插入的数，将其变为x；
现在要进行N次操作，对于所有第2个操作，输出当前集合的最小值。

输入格式
第一行包含整数N。

接下来N行，每行包含一个操作指令，操作指令为”I x”，”PM”，”DM”，”D k”或”C k x”中的一种。

输出格式
对于每个输出指令“PM”，输出一个结果，表示当前集合中的最小值。

每个结果占一行。

数据范围
1≤N≤105
−109≤x≤109
数据保证合法。

输入样例：
8
I -10
PM
I -10
D 1
C 2 8
I 6
PM
DM
输出样例：
-10
6

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;
int h[N], hp[N], ph[N], isz, sz, n;
void heap_swap(int u, int v)
{swap(h[u], h[v]);swap(hp[u], hp[v]);swap(ph[hp[v]], ph[hp[u]]);
}
void down(int u)
{int t = u;if(u * 2 <= sz && h[u * 2] < h[t])t = u * 2;if(u * 2 + 1 <= sz && h[u * 2 + 1] < h[t])t = u * 2 + 1;if(u != t){heap_swap(u, t);down(t);}
}
void up(int u)
{if(u / 2 && h[u / 2] > h[u]){heap_swap(u / 2, u);up(u / 2);}
}
int main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);int k, x;string op;cin >> n;while(n--){cin >> op;if(op == "I"){cin >> x;sz++;isz++;h[sz] = x;hp[sz] = isz;ph[isz] = sz;down(sz);up(sz);}if(op == "PM")cout << h[1] << '\n';if(op == "DM"){heap_swap(1, sz);sz--;down(1);}if(op == "D"){cin >> k;int u = ph[k];heap_swap(u, sz);sz--;down(u);up(u);}if(op == "C"){cin >> k >> x;h[ph[k]] = x;down(ph[k]);up(ph[k]);}}return 0;
}

这里要注意两个新增加的数据结构：hp和ph数组。ph中p是指针，h是堆，hp同理。
ph[i]：存储第i个插入的数在堆中的下标
hp[i]：存储在堆中下标为i的数是第几个插入的

可以看出，hp和ph类似于反函数。
理解了这个，我们就能理解heap_swap的含义：交换堆下标为v和u的两个元素的所有映射——h,hp,ph。由于这三个映射互不干扰，所以交换的顺序任意。

然后就是注意down和up的参数，如果是参数是ph，并且之前要用到heap_swap操作的话，那么一定要用临时变量把ph存起来，否则ph会变，就背离了编程者的初衷。