动态规划（DP）经典模型

1，动态规划（DP) 记忆化搜索实质上是以空间换时间

最优子结构

无后效性

子问题重叠性 ---> 记忆化搜索

2，dp思想

开个数组存

计算前先看计算过没，计算过了直接返回结果

3,记忆化搜索求解斐波纳契数列

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 105;
int dp[maxn];
// 记忆化搜索的基本结构
// 要怎么表示没被算过?
int f (int x)
{// 算过了就不算了, 记忆化搜索的关键，一定要放在dfs的开头!!!!if (dp[x] != -1) return dp[x];if (x == 1 || x == 2) return 1;int ans = f(x - 1) + f(x - 2);dp[x] = ans;return ans;
}
int main()
{int n; cin >> n;// 把所有dp置为-1// memset 不是什么值都可以赋的!// 只能初始化0 || -1memset(dp , -1 , sizeof dp);cout << f(n) << endl;return 0;
}

memset,只能初始化0或者-1，fill初始化

memset(dp,-1/0,sizeof dp);
fill (array,array+4,5);   // myvector: 5 5 5 5 0 0 0 0
fill (array+3,array+6,8);   // myvector: 5 5 5 8 8 8 0 0

3，数塔模型记忆化搜索

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 105;
const int inf = 1e9;
int dp[maxn][maxn] , a[maxn][maxn];
int n , m;
// dfs的作用:求从x,y到底部的路径最大值
int dfs (int x , int y)
{// 边界条件// 不合法的状态，我们要让他一定不被考虑。// 如果全部都是负数，那么返回0将是错误的结果if (y > x) return -inf;if (dp[x][y] != -1) return dp[x][y];if (x == n + 1) return 0;int ans = a[x][y] + max (dfs(x + 1 , y) , dfs(x + 1 , y + 1));dp[x][y] = ans;return ans;
}
int main()
{// 把所有dp置为-1// memset 不是什么值都可以赋的!// 只能初始化0 || -1memset(dp , -1 , sizeof dp);cin >> n >> m;for (int i = 1 ; i <= n; i ++){for (int j = 1 ; j <= i ; j++){cin >> a[i][j];}}cout << dfs(1 , 1) << endl;return 0;
}

4，数塔问题递推解法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 105;
const int inf = 1e9;
// dp(x , y) 从(x , y)到最下面一层的最大值
int dp[maxn][maxn] , a[maxn][maxn];
int main()
{int t; cin >> t;while (t--){// 初始化memset (dp , 0 , sizeof dp);int n; cin >> n;for (int i = 1 ; i <= n ; i++){for (int j = 1 ; j <= i ; j++){cin >> a[i][j];}}for (int i = n ; i >= 1 ; i--){for (int j = 1 ; j <= i ; j++){dp[i][j] = a[i][j] + max(dp[i + 1][j] , dp[i + 1][j + 1]);}}cout << dp[1][1] << endl;}return 0;
}

4，最大子段和 一段数最大的和 aL-aR

b[i]以i结尾最大的的子段和

max(a[i]+b[i],a[i]); +b[i]<a[i] 就不用接了

求具体方案

从c[i] (以i为结尾的最大子段和的起始点) 不接起点是c[i]-1 接起点是从c[i]；

5，序列组合

n个格子，每个格子可填写数[1,m].满足任意一对相邻的格子的数绝对值小于等于2的填写方案数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 105;
const int inf = 1e9;
int n , m;
// dfs (st , val) 求从st填写到1格子的所有可能方案.
int dp[105][108];
int dfs (int st , int val)
{if (dp[st][val] != -1) return dp[st][val];if (st == 0) return 1;int ans = 0;for (int i = 1 ; i <= m ; i++){if (abs(val - i) <= 2){ans += dfs(st - 1 , i);}}dp[st][val] = ans;return ans;
}
int main()
{memset(dp , -1 , sizeof dp);cin >> n >> m;int ans = 0;for (int i = 1 ; i <= m ; i++){ans += dfs (n - 1 , i);}cout << ans << endl;return 0;
}

递推版本

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 105;
const int inf = 1e9;
int n , m;
// dp(i , j) 代表从1号格子填写到第i号格子，且第i号格子的数为j的所有方案数.
int dp[maxn][maxn];
int main()
{memset(dp , -1 , sizeof dp);int n , m; cin >> n >> m;// 边界条件,因为1之前没有格子了for (int i = 1 ; i <= m ; i++)dp[1][i] = 1;// 从2开始转移.for (int i = 2 ; i <= n ; i++){for (int j = 1 ; j <= m ; j++){for (int k = max(j - 2 , 1) ; k <= min(j + 2 , m) ; k++){dp[i][j] += dp[i - 1][k];}}}int ans = 0;for (int i = 1 ; i <= m ; i++){ans += dp[n][i];}cout << ans << endl;return 0;
}

6，LIS（最长上升子序列）

O(n^2)

dp[i]=max(a[j]+1); dp[j]<dp[i]

#include <iostream>using namespace std;
int a[105],dp[105];
int main()
{int n;cin>>n;fill(dp,dp+n,1);//初始化数组为1for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];}//dp[1]=1;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){if(a[i]>a[j]){dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);}}}for(int i=1;i<=n;i++){cout<<dp[i]<<" ";}return 0;
}

7,走格子

8最长公共子序列

dp[i][j]是第一个字符串的前i个字符与第二个字符串前j个字符的最长公共子序列的长度

x==y dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1

x!=y dp[i][j]=max(dp[i-1][j] dp[i][j-1])

8，回文串模型

给你一个字符串长度为2000 Q（Q<=1e6）次询问 [L,R]子串是否为回文串

dp[L][R]=dp[L+1][R-1]&&s[L]==s[R];

dp[i][j]表示区间L-R是否为回文串

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
int dp[2000][2000];
int main()
{string str;cin>>str;str='#'+str;for(int i=str.size();i>0;i--){for(int j=i;j<=str.size();j++){//i-j==0 "a"//i-j==1 "aa"//i-j==2 "aba"//前提是str[i]==str[j]dp[i][j]=(str[i]==str[j])&&(i-j<=2||dp[i+1][j-1]);}}int q;cin>>q;while(q--){int x,y;cin>>x>>y;if(dp[x][y]){cout<<"yes"<<endl;}else{cout<<"no"<<endl;}}return 0;
}

/*-------------------------------*/

求最长回文子序列

dp[i][j] i表示头 j表示尾头尾最长的回文子序列

s[i]==s[j] dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+1

s[i]!=s[j] dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-1])

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1300][1300];
int main(){string s;cin>>s;int n=s.size();for(int i=0;i<n;i++){if(s[i]>='A'&&s[i]<='Z'){s[i]=s[i]+32;}}s="*"+s;memset(dp,0,sizeof(dp));for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=n;j>=1;j--){if(s[i]==s[j]){dp[i][j]=dp[i-1][j+1]+1;}else{dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j+1]);}}}cout<<dp[n][1]<<endl;return 0;
}

9,背包模型

n个物品体积v，价值w（n，m<1000,w<=1e9)

取n个物品（不超过体积的前提下）使价值最大

dfs(st,v)

max(dfs(st+1,v) w[st]+dfs(st+1,v-v[st]);

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