自然常数e是什么？它是怎么来的？

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2019-01-22 14:15:00

在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数。之所以把这个数称之为自然常数，是因为自然界中的不少规律与该数有关。不过，这个数最初不是在自然界中发现的，而是与银行的复利有关。

想象一下，如果把钱存在年利率为100%的银行中，一年之后的钱将会增加为原来的(1+1)^1=2倍。假如银行不用这种方式来结算利息，而是换成六个月算一次，但半年的利率为之前年利率的一半，也就是50%，那么，一年后的钱将会增加为原来的(1+0.5)^2=2.25倍。同样的道理，如果换成每日，日利率为1/365，则一年后的钱将会增加为原来的(1+1/365)^365≈2.71倍。

也就是说，随着结算时间的缩短，最终收益会越来越多。倘若结算时间无限短，那么，最终的收益会变成无穷多吗？这个问题等同于求解下面的这个极限：

经由严格的数学证明可知，上述极限是存在的，它不是无限的，而是一个常数，这个常数就是现在所说的自然常数e：

另据证明，自然常数e是一个无理数，所以它是一个无限不循环的小数，具体数值为2.71828……。

根据以e为底的指数函数的泰勒级数展开，还能推导出e的另一个表达式：

可以看到，自然数阶乘的倒数之和正是e，所以这能体现自然常数的“自然”之处。

在自然界中，有不少规律与e有关，例如，生物的生长、繁殖和衰变规律，这些过程都是无限连续的，类似于银行的无限复利。

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