自然常数e(无理数)探究
在学习JavaScript时看到自然常数E,想知道这是怎样的一个无理数,查阅时看到一段解释,感觉通俗易懂,就转载记录下来。
在《飞蛾真的是因为趋光所以扑火?》中,通过对飞蛾运动轨迹的简化表达得到了与自然常数e相关的等角螺旋线。自然常数 e 确实是一个奇妙的数字,这里的 e并不仅仅代表一个字母,它还是一个数学中的无理常数,约等于2.718281828459。
但你是否有想过,它到底怎么来的呢?为啥一个无理数却被人们称之为“自然常数”?
说到e ,我们会很自然地想起另一个无理常数 π。 π 的含义可以通过下图中的内接与外切多边形的边长逼近来很形象的理解。
假设一个圆的直径为1,其外切与内接多边形的周长可以构成π 的估计值的取值范围上下限,内接与外切多边形的边越多,取值范围就越窄,只要边数足够多,取值范围上下限就可以越来越逼近圆周率π。π 的手动推导过程详见:《古人是如何寻找到π的?》
如果说π 的计算很直观,那e呢?所以在此也用一种图解法来直观理解e 。
首先,我们需要知道 e这个表示自然底数的符号是由瑞士数学和物理学家Leonhard Euler(莱昂纳德·欧拉)命名的,取的正是Euler的首字母“e”。
但实际上,第一个发现这个常数的,并非欧拉本人,而是雅可比·伯努利(Jacob Bernoulli)。
伯努利家族是17〜18世纪瑞士的一个赫赫有名的家族,其中出了很多著名的数理科学家,雅可比·伯努利是约翰·伯努利(Johann Bernoulli)的哥哥,而约翰·伯努利则是欧拉的数学老师。总之,大佬们之间有着千丝万缕的联系。
要了解e 的由来,一个最直观的方法是引入一个经济学名称“复利(Compound Interest)”。
复利率法(英文:compound interest),是一种计算利息的方法。按照这种方法,利息除了会根据本金计算外,新得到的利息同样可以生息,因此俗称“利滚利”、“驴打滚”或“利叠利”。只要计算利息的周期越密,财富增长越快,而随着年期越长,复利效应亦会越为明显。—— 维基百科
在引入“复利模型”之前,先试着看看更基本的 “指数增长模型”。
我们知道,大部分细菌是通过二分裂进行繁殖的,假设某种细菌 1天会分裂一次,也就是一个增长周期为1 天,如下图,这意味着:每一天,细菌的总数量都是前一天的两倍。
显然,如果经过x天(或者说,经过 x 个增长周期)的分裂,就相当于翻了x倍。在第 x天时,细菌总数将是初始数量的2^x 倍。如果细菌的初始数量为 1,那么 x 天后的细菌数量即为 2^x:
如果假设初始数量为K ,那么 x 天后的细菌数量则为 K*2^x :
因此,只要保证所有细菌一天分裂一次,不管初始数量是多少,最终数量都将是初始数量的 2^x 倍。因此也可以写为:
上式含义是:第 x 天时,细菌总数量是细菌初始数量的 Q 倍。
如果将 “分裂”或“翻倍”换一种更文艺的说法,也可以说是:“增长率为 100% ”。那我们可以将上式写为:
当增长率不是 100% ,而是 50% 、 25% 之类的时候,则只需要将上式的 100% 换成想要的增长率即可。这样就可以得到更加普适的公式:
这个公式的数学内涵是:一个增长周期内的增长率为 r ,在增长了 x个周期之后,总数量将为初始数量的 Q 倍。
以上为指数增长的简单实例,下面来看看雅可比·伯努利的发现:
假设你有 1 元钱存在银行里,此时发生了严重的通货膨胀,银行的利率飙到了 100% (夸张一下,为了方便计算)。如果银行一年付一次利息,自然在一年后你可以拿到 1 元的本金(蓝色圆)和 1 元的利息(绿色圆),总共两元的余额。
现在银行的年利率不变,但银行为了招揽客户,推出一项惠民政策,每半年就付一次利息。那么到第六个月的时候,你就能够提前从银行拿到 0.5 元的利息了。
机智的你会马上把这 0.5 元的利息再次存入银行,这 0.5 元的利息也将在下一结算周期产生利息(红色圆),专业术语叫“复利”,那么年底的存款余额将等于 2.25 元。
此时,我们可以换个角度这样看:即,每个结算(增长)周期为半年,每半年的利率是 50% (或者说 100%/2 ),一年结算两次利息,且第一次结算完后,立马将利息存入。此时我们的计算公式和结果如下:
继续,假设现在银行为了和其他银行抢生意,短期不想赚钱了,每四个月就付一次利息!而机智的你依然一拿到利息就立马存入,与半年结算一次利息类似:即,每个结算周期为四个月,每四个月的利率是 33.33% (或者说 100%/3 ),一年结算三次利息,且前两次结算完后,都立马将所有利息存入。
此时计算公式和结果如下:
我的天,年利率虽然没有变,但随着每年利息交付次数的增加,你年底能从银行拿到的钱居然也在增加!
那么是不是会一直增大到无穷大呢?想得倒美…
现在假设存款人和银行都疯了,银行在保证年利率为 100% 的前提下连续不断地付给存款人利息,存款人天天呆在银行不走,拿到利息就往银行里存。这样,所得利息即所谓“连续复利”。
但是,你会发现,似乎有一个“天花板”挡住了你企图靠 1 块钱疯狂赚取 1 个亿的小目标,这个“天花板”就是 e !
如果,我们进行一系列的迭代运算,我们将看到以下结果:
其中, n 指的是一年中结算利息的次数。
只要在年利率保持 100% 不变的情况下,不断地提高利息的结算次数,余额就将会逼近 e=2.71828182845…
然后,终于可以祭出这个高等数学微积分里计算e 的一个重要极限了:
现在再回头看这个重要极限,想必会有更加直观的理解。
也就是说,就算银行的年利率是 100% ,再怎么求银行给你“复利”,年底也不可能得到超过本金 e 倍的余额。况且,我是没见过哪个银行的年利率是 100% 。
虽然正常的银行不会推出连续复利这种优惠政策,但在自然界中,大多数事物都处在一种“无意识的连续增长”状态中。对于一个连续增长的事物,如果单位时间的增长率为 100% ,那么经过一个单位时间后,其将变成原来的 e 倍。生物的生长与繁殖,就也类似于“利滚利”的过程。
再比如,在《飞蛾真的是因为趋光所以扑火?》中所说的等角螺线:
如果用极坐标表示,其通用数学表达式为:
其中, a 、 b为系数,r 螺线上的点到坐标原点的距离, θ 为转角。这正是一个以自然常数 e 为底的指数函数。
例如,鹦鹉螺外壳切面就呈现优美的等角螺线:
温带低气压的外观也像等角螺线:
就连旋涡星系的旋臂都像等角螺线:
或许这也是 e被称为“自然常数”的原因吧。当然,自然常数 e 的奇妙之处还远不止这些,一本书都写不完。
自然常数e(无理数)探究相关推荐
- 自然常数e与重要极限
无理数eee,又称自然常数,是一个人为定义的数,约等于2.71828,我们在很多地方都能看到它的身影,如欧拉方程.自然对数中等等. 定义 eee的定义式为:limx→∞(1+1x)x=e\lim_{ ...
- 自然常数e的由来,及欧拉公式
e是数学中最重要的常数之一,是一个无理数,就是说跟 π 一样是无限不循环小数.比起我们更熟知的两个无理数圆周率 π 和 √2 不同,它不是由数学家由几何问题上发现而来的,而出自一个金融问题,是用来表示 ...
- julia自然常数_Julia中的Sys.KERNEL常数
julia自然常数 Julia| 系统内核常数 (Julia | Sys.KERNEL Constant) Sys.KERNEL is a constant of the Symbol type in ...
- 我们数学中常用的自然常数e代表什么?看完长知识了!
我们在学习期间都接触过自然常数e,也知道e ≈ 2.718,学过极限的同学应该也知道 那么大家知道e的含义是什么吗?为啥叫"自然常数"? e的含义可以用一个计算利息的例子来解释. ...
- 练习:试炼自然常数e
Python 官网:https://www.python.org/ Free:大咖免费"圣经"教程< python 完全自学教程>,不仅仅是基础那么简单-- My CS ...
- 微积分review 极限,迫敛性,极限四则运算,自然常数来历
微积分review 极限,迫敛性,极限四则运算,自然常数来历 只能证明 (1+1/n)^n : 1.是递增的: 2.是有界的. 然后命名它为e,不是证明出来的,而是定义出来的: lim (1+1/n) ...
- 二、神奇的自然常数e之“自然”之力
上回说道,哲学史第一人泰勒斯提出了水本原说,这意味着世事万物的各种现象都可以通过观察与理性把握,而不是归结于众神的意志与活动. 古希腊的哲学家们从此在看待自然现象时,不再以幻想的方式,而是以理性认识的 ...
- 信号与系统2—关于自然常数e的那些事
信号与系统2-关于自然常数e的那些事 信号与系统 自然常数e的起源 关于e的误解 信号与系统 信号与系统的基础便是复变函数 e e e的jw次方,那么真正的理解自然常数就变得非常重要. 自然常数e的起 ...
- python:自然常数 e =2.71828
python:自然常数 e 开n次方 print_e.py # coding=utf-8 import math # 自然常数 e #e = 2.71828 e = math.e print('e=' ...
最新文章
- 【渝粤题库】国家开放大学2021春2320物流管理定量分析方法题目
- python解析不完全的html_【已解决】Scrapy的Python中如何解析部分的html字符串并格式化为html网页源码...
- quill鼠标悬浮 出现提示_html实现鼠标悬停显示气泡文字内容
- coreELEC ceemmc 写入 cm311-1a 刷机排坑 Armbian 搞机篇
- JQuery EasyUI 1.5.1 美化主题大包
- SSM框架面试题整理
- Linux下进程通讯消息队列
- HDU5832(大数取模-秦九昭算法)
- pixel bender 学习备忘录
- 流式处理术语解释:Exactly-once与Effectively-once
- 访问任何dns都超时_如何使用动态DNS从任何地方轻松访问您的家庭网络
- putty登录树莓派4超时
- c语言中要让音乐暂停还用什么指令,【Android】Broadcast控制音乐暂停继续等
- MSF之ms17-010永恒之蓝漏洞利用
- 查看电脑是否支持蓝牙和wifi
- 如何使用WPS从正文开始页码为1,而不是从目录开始?
- clickhouse源码:函数分析和自定义函数UDF
- 87.序列到序列学习(seq2seq)以及代码实现
- CONDITION EVALUATION DELTA
- Pytorch学习笔记01----张量生成
热门文章
- iPhone销量下降,这两种方法可以把Android和iPhone手机投屏到电脑上!
- cpp整理学习笔记 文件I/O:随机存取fseek()和ftell()
- 最新,EI期刊目录更新,又有1本期刊被剔除
- 七款简单易用的项目管理平台
- 南京配眼镜避坑指南,轻松找到高性价比眼镜店
- 斗罗大陆壁纸图片高清小舞146集八段摔杨无敌
- TPC-H测试超详细介绍
- 【基于人脸特征的心率检测研究】非接触式光电容积图和红外人脸视频瞬时心率估计
- ios手机怎么连接adb命令_ios手机怎么连接adb命令_Mac连接Adb
- 2020最新Android开发中高级进阶书籍推荐