用ＭＡＴＬＡＢ在上连续，二重积分存在且为一确定的常数，这个数值与的结构、的几何形状有关，二重积分计算的基本途径是在一定条件下化为二次积分，本文研究的某些区域的二重积分，要求二重积分在该区域上能化为二次积分。

二重积分的存在性[1]：在闭区域上连续，则必存在。

定理[1]：若在闭区域上连续，且、在上连续，则：

上式右端是一个先对后对的二次积分：先把看作的函数，在区间上对计算定积分(这时看作常数)，把得到的结果(是的函数)再在上对计算定积分即为二重积分。具体处理办法是设： (1)，(2)

计算二重积分转化为计算单次积分(1)、(2)。

2.定积分的数值积分公式[2]

关于定积分，有Newton-Leibniz公式:

在实际问题中，往往会遇到被积函数的原函数无法用初等函数来表示，或有的虽然能用初等函数表示，但过分复杂，这些情形都需要去建立定积分的近似计算公式，也就是求积分的数值解。

定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合，

，称为积分系数，与无关，只与积分区间和积分点有关。

在数值积分方面，最容易得到的是用的代数插值函数来代替它，即将积分区间细分，在每小区间内用简单函数代替复杂函数，这是数值积分的基本思想。对替代函数的要求：精度要高、计算量要小。

定义代数精度：求积公式对一切不高于次的多项式都准确成立，而对于次多项式等号不成立，则称此公式的代数精度为。

代数精度越高，则公式越精确。下面介绍插值型数值积分：牛顿—柯特斯型积分公式。

将积分区间等分，设节点为：

步长，在个节点上建立插值于的次代数多项式(拉格朗日插值多项式)，并引进变换：

则有：， 于是得到插值型的牛顿-柯特斯积分公式：

这里，令

称为求积系数，与被积函数无关，称为柯特斯系数，与步长无关。

可得到代数精度为阶的数值积分：

，误差：

2.1梯形公式

牛顿-柯特斯型求积公式中，当时，

(1.1)，记。

如图1所示，用一次插值多项式(直线)代替被积函数，定积分的几何意义是曲边梯形的面积，此时用梯形面积近似代替曲边梯形面积，故称公式(1.1)为梯形公式。梯形公式有1阶的代数精度，用1次多项式估计误差：

2.2辛普森(Simpson)—柯特斯型求积公式中，当时，

(1.2)，记，

如图2所示，用二次插值多项式(抛物线)代替被积函数，定积分的几何意义是曲边梯形的面积，此时用曲边用抛物线代替，故称公式(1.2)为称为抛物线公式，也称此公式为Simpson公式。

图1：用一次插值多项式代替被积函数 图2：用二次插值多项式代替被积函数

注意到，Simpson公式有3阶代数精度，因此为了对误差有更精确地估计，用3次多项式估计误差:

从余项的表达式看到，当积分的区间宽度大，Simpson公式Newton-Cotes公式计算不稳定的问题，其运算简单且易于在计算机上实现。常用的复化求积公式是复化梯形公式和复化Simpson公式。

2.3复化求积公式

将区间分为若干个小子区间，在每个小子区间上使用低阶的Newton-Cotes公式，然后把它们加起来，作为整个区间上的求积公式。

2.3.1复化梯形公式

将区间等分，令在每个小区间上用梯形公式：

(1.3.1)

称公式(1.3.1)为定积分的复化梯形公式。

2.3.2复化辛普森(Simpson)公式

同样，将积分区间等分，在每个小区间上用Simpson公式：(1.3.2)

称公式(1.3.2)为定积分复化Simpson公式。

2.4龙贝格(Romberg)公式

龙贝格(Romberg)算法是将理查逊(Richardson)外推法应用于数值积分，由低精度求积公式推出高精度求积公式的算法。

在区间上，利用复化梯形公式：

，

令，为待定系数。

由、对一次多项式精确成立，可确定使对精确成立，为简单记，在[0，1]上考虑。

因为，则，，得：； ，，，。

由此可得：，则。

而，这恰是Simpson公式。 用同样的方法可以得到：。计算需要，用了三个点，代数精度为3。

同样，令。

同理，。计算需要，用了五个点，代数精度为5。

同样，令：

；…；(1.4)

称公式(1.4)为定积分的龙贝格公式。计算需要，用了七个点，代数精度为7。.

2.5高斯(Gauss)积分公式

数值积分中给出一个代数精度为的积分公式：

(1.4)，其中，称为积分系数，为高斯节点。

积分系数和高斯节点可由勒让德多项式确定，高斯节点恰为多项式的零点，高斯求积公式可根据选定的节点数和对应的求积系数编程实现，将之构造表格，即可求出积分近似值。

对于一般区间上的积分，可用变量替换，使积分区间化为，有，再对右边的积分用高斯求积公式计算。

3.MATLAB环境下计算积分的命令[14]

MATLAB中计算积分