三角诱导公式两角和与差二倍角公式降幂公式半角公式万能公式积化和差公式和差化积公式

两角和与差公式：

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \betasin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \betacos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ
tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\tan (\alpha \pm \beta)=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}tan(α±β)=1∓tanαtanβtanα±tanβ

证：sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \betasin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

在笛卡尔坐标系中以原点O为圆心作单位圆，在单位圆中作以下线段

如图中所示，容易看出：sin⁡(α+β)=CF;sin⁡α=AB;cos⁡α=OB;sin⁡β=CD;cos⁡β=OD\sin (\alpha+\beta)=C F ; \quad \sin \alpha=A B ; \quad \cos \alpha=OB ; \quad \sin \beta=C D ; \cos \beta=ODsin(α+β)=CF;sinα=AB;cosα=OB;sinβ=CD;cosβ=OD

则：SΔOCA=12×1×CF=12×1×sin⁡(α+β)S_{\Delta O C A}=\frac{1}{2} \times 1 \times C F=\frac{1}{2} \times 1 \times \sin (\alpha+\beta)SΔOCA=21×1×CF=21×1×sin(α+β)
SΔOCE=SΔOCB−SΔCEBS_{\Delta O C E}=S_{\Delta O C B}-S_{\Delta C E B}SΔOCE=SΔOCB−SΔCEB
=12×OB×CD−SΔCEB=\frac{1}{2} \times O B \times C D-S_{\Delta C E B}=21×OB×CD−SΔCEB
=12×cos⁡α×sin⁡β−SΔCEB\quad=\frac{1}{2} \times \cos \alpha \times \sin \beta-S_{\Delta C E B}=21×cosα×sinβ−SΔCEB
SΔOAE=SΔOAD+S△AEDS_{\Delta O A E}=S_{\Delta O A D}+S_{\triangle A E D}SΔOAE=SΔOAD+S△AED
=12×OD×AB+S△AED=\frac{1}{2} \times O D \times A B+S_{\triangle A E D}=21×OD×AB+S△AED
=12×cos⁡β×sin⁡α+S△AED=\frac{1}{2} \times \cos \beta \times \sin \alpha+S_{\triangle A E D}=21×cosβ×sinα+S△AED

SΔOCA=12×1×sin⁡(α+β)=SΔOCE+SΔOAE=(12×cos⁡α×sin⁡β−SΔCEB)+(12×cos⁡β×sin⁡α+S△AED)S_{\Delta O C A}=\frac{1}{2} \times 1 \times \sin (\alpha+\beta)= S_{\Delta O C E}+S_{\Delta O A E}=\left(\frac{1}{2} \times \cos \alpha \times \sin \beta-S_{\Delta C E B})+\left(\frac{1}{2} \times \cos \beta \times \sin \alpha+S_{\triangle A E D}\right)\right.SΔOCA=21×1×sin(α+β)=SΔOCE+SΔOAE=(21×cosα×sinβ−SΔCEB)+(21×cosβ×sinα+S△AED)

容易看出, S△ABD=SΔABC=12×AB×BDS_{\triangle A B D}=S_{\Delta A B C}=\frac{1}{2} \times A B \times B DS△ABD=SΔABC=21×AB×BD ，而 S△ABES_{\triangle A B E}S△ABE 是公共三角形, ∴S△AED=S△CEB,\quad \therefore S_{\triangle{AED}}=S_{\triangle{CEB}},∴S△AED=S△CEB,

可得到：sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \betasin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

对于sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \betasin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ，只要将 sin⁡(α+β)\sin (\alpha+\beta)sin(α+β) 中的 β\betaβ 唤成 (−β)(-\beta)(−β) 即可。

**二倍角公式:**由和公式，当α=β\alpha = \betaα=β，得到：

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alphasin2α=2sinαcosα
cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alphacos2α=cos2α−sin2α
tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}tan2α=1−tan2α2tanα

由于sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1sin2α+cos2α=1，故cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=1-2 \sin ^{2} \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1cos2α=cos2α−sin2α=1−2sin2α=2cos2α−1

降幂公式： 由二倍角公式得到

sin⁡2α=1−cos⁡2α2\sin ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2}sin2α=21−cos2α
cos⁡2α=1+cos⁡2α2\cos ^{2} \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2}cos2α=21+cos2α

半角公式：由降幂公式令α\alphaα为α2\frac{\alpha}{2}2α

sin⁡2α2=1−cos⁡α2，cos⁡2α2=1+cos⁡α2\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{2} ， \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{2}sin22α=21−cosα，cos22α=21+cosα tan⁡2α2=sin⁡2α2cos⁡2α2=1−cos⁡α1+cos⁡α\tan ^{2} \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}}{ \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}tan22α=cos22αsin22α=1+cosα1−cosα

tan⁡α2=sin⁡α2cos⁡α2=sin⁡2α2sin⁡α2⋅cos⁡α2=12(1−cos⁡α)12sin⁡α=1−cos⁡αsin⁡α\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{1}{2}(1-\cos \alpha)}{\frac{1}{2} \sin \alpha}=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}tan2α=cos2αsin2α=sin2α⋅cos2αsin22α=21sinα21(1−cosα)=sinα1−cosα

tan⁡α2=sin⁡α2cos⁡α2=sin⁡α2⋅cos⁡α2cos⁡2α2=sin⁡α1+cos⁡α\tan \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}tan2α=cos2αsin2α=cos22αsin2α⋅cos2α=1+cosαsinα

万能公式：利用二倍角证明，

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α=2sin⁡αcos⁡αcos⁡2α+sin⁡2α=2tan⁡α1+tan⁡2α\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha=\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}=\frac{2 \tan \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha}sin2α=2sinαcosα=cos2α+sin2α2sinαcosα=1+tan2α2tanα

cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2αcos⁡2α+sin⁡2α=1−tan⁡2α1+tan⁡2α\cos 2 \alpha=\frac{\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha}{\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}=\frac{1-\tan ^{2} \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha}cos2α=cos2α+sin2αcos2α−sin2α=1+tan2α1−tan2α

tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}tan2α=1−tan2α2tanα

积化和差公式：由两角和与差公式，sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \betasin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ，将sin⁡(α+β)\sin (\alpha + \beta)sin(α+β)与sin⁡(α−β)\sin (\alpha - \beta)sin(α−β)相加，得到sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]\sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)]sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α−β)]，

将sin⁡(α+β)\sin (\alpha + \beta)sin(α+β)与sin⁡(α−β)\sin (\alpha - \beta)sin(α−β)相减，得到cos⁡αsin⁡β=12[sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)]\cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)]cosαsinβ=21[sin(α+β)−sin(α−β)]，

cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \betacos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ，将cos⁡(α+β)\cos (\alpha + \beta)cos(α+β)与cos⁡(α−β)\cos (\alpha - \beta)cos(α−β)相加，得到cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)]\cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)]cosαcosβ=21[cos(α+β)+cos(α−β)]

将cos⁡(α+β)\cos(\alpha + \beta)cos(α+β)与cos⁡(α−β)\cos(\alpha - \beta)cos(α−β)相减，得到sin⁡αsin⁡β=−12[cos⁡(α+β)−cos⁡(α−β)]\sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)]sinαsinβ=−21[cos(α+β)−cos(α−β)]

和差化积公式：由积化和差公式sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]\sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)]sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α−β)]，令x=α+βx=\alpha+\betax=α+β，y=α−βy=\alpha-\betay=α−β，代入替换α\alphaα与β\betaβ，可得到：

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}sinα+sinβ=2sin2α+βcos2α−β
sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2\sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}sinα−sinβ=2cos2α+βsin2α−β
cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2\cos \alpha+\cos \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}cosα+cosβ=2cos2α+βcos2α−β
cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\cos \alpha-\cos \beta=-2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}cosα−cosβ=−2sin2α+βsin2α−β

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