[家里蹲大学数学杂志]第254期第五届[2013年]全国大学生数学竞赛[数学类]试题
1 ($15'$) 平面 $\bbR^2$ 上两个半径为 $r$ 的圆 $C_1$ 和 $C_2$ 外切于 $P$ 点, 将圆 $C_2$ 沿 $C_1$ 的圆周 (无滑动) 滚动一周, 这时, $C_2$ 上的 $P$ 点也随 $C_2$ 的运动而运动. 记 $\vGa$ 为 $P$ 点的运动轨迹曲线, 称为心脏线. 现设 $C$ 为以 $P$ 的初始位置 (切点) 为圆心的圆, 其半径为 $R$, 记 $$\bex \gamma:\ \bbR^2\cup\sed{\infty}\to \bbR^2\cup\sed{\infty} \eex$$ 为圆 $C$ 的反演变换, 它将 $Q\in \bbR^2\bs \sed{P}$ 映成射线 $PQ$ 上的点 $Q'$, 且满足 $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{PQ'}=R^2$. 求证: $\gamma(\vGa)$ 为抛物线.
2 ($10'$) 设 $n$ 阶方阵 $B(t)$ 和 $n\times 1$ 矩阵 $G(t)$ 分别是 $$\bex B(t)=(b_{ij}(t)),\quad b(t)=\sex{\ba{l} b_1(t)\\ \vdots\\ b_n(t) \ea}, \eex$$ 其中 $b_{ij}(t)$ 和 $b_i(t)$ 均为关于 $t$ 的实系数多项式, $i,j=1,2,\cdots,n$. 记 $d(t)=\det B(t)$, $d_i(t)$ 为用 $b(t)$ 代替 $B(t)$ 行列式中的第 $i$ 列后所得的 $n$ 阶矩阵的行列式. 若 $d(t)$ 有实根 $t_0$ 使得 $B(t_0)X=b(t_0)$ 成为关于 $X$ 的相容线性方程组. 试证明: $d(t), d_1(t), d_2(t),\cdots, d_n(t)$ 必有次数 $\geq 1$ 的公因式.
3 ($15'$) 设 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上二阶连续可微, $f'(0)=1$, $f''(0)\neq 0$, 且 $0<f(x)<x, x\in (0,a)$. 令 $x_{n+1}=f(x_n), x_1\in (0,a)$.
(1) 求证: $\sed{x_n}$ 收敛并求其极限;
(2) 试问 $\sed{nx_n}$ 是否收敛? 若收敛, 求出其极限; 若不收敛, 请说明理由.
4 ($15'$) 设 $a>1$, $f:(0,+\infty)\to (0,+\infty)$ 可微. 求证: 存在趋于 $+\infty$ 的正数列 $\sed{x_n}$, 使得 $f'(x_n)<f(ax_n),\ n=1,2,\cdots$.
5 ($20'$) 设 $f:[-1,1\to\bbR$ 为偶函数, $f$ 在 $[0,1]$ 上是增函数; 又设 $g$ 是 $[-1,1]$ 上的凸函数, 即 $$\bex g(tx+(1-t)y)\leq tg(x)+(1-t)g(y),\quad \forall\ x,y\in [0,1],\quad \forall\ t\in [0,1]. \eex$$ 试证: $$\bex 2\int_{-1}^1 f(x)g(x)\rd x \geq \int_{-1}^1 f(x)\rd x\cdot \int_{-1}^1 g(x)\rd x. \eex$$
6 ($25'$) 设 $\bbR^{n\times n}$ 为 $n$ 阶实方阵全体, $E_{ij}$ 为 $(i,j)$ 元素为 $1$, 其余元素为 $0$ 的 $n$ 阶方阵, $i,j=1,2,\cdots,n$. 记 $\vGa_r$ 表示秩为 $r$ 的实方阵全体, $r=0,1,2,\cdots,n$; 并让 $\phi: \bbR^{n\times n}\to \bbR^{n\times n}$ 为可乘映照, 即满足 $$\bex \phi(AB)=\phi(A)\cdot \phi(B),\quad \forall\ A,B\in \bbR^{n\times n}. \eex$$ 证明:
(1) 对 $\forall\ A,B\in \vGa_r$, 有 $\rank\phi(A)=\rank\phi(B)$.
(2) 若 $\phi(0)=0$, 且存在 $r=1$ 的矩阵 $W$ 使得 $\phi(W)=0$, 则必存在可逆方阵 $R$ 使得 $$\bex \phi(E_{ij})=RE_{ij}R^{-1},\quad \forall\ i,j=1,2,\cdots,n. \eex$$
转载于:https://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3875032.html
[家里蹲大学数学杂志]第254期第五届[2013年]全国大学生数学竞赛[数学类]试题相关推荐
- 第五届[2013年]全国大学生数学竞赛[数学类]试题六参考解答
第五届[2013年]全国大学生数学竞赛[数学类]试题六参考解答 设 $\bbR^{n\times n}$ 为 $n$ 阶实方阵全体, $E_{ij}$ 为 $(i,j)$ 元素为 $1$, 其余元素为 ...
- [家里蹲大学数学杂志]第264期武汉大学2013年数学分析考研试题参考解答
因为还是有人到处传来传去,所以收回了, 要见请看: 家里蹲大学数学杂志目录
- [家里蹲大学数学杂志]第265期武汉大学2013年高等代数考研试题参考解答
因为还是有人到处传来传去,所以收回了, 要见请看: 家里蹲大学数学杂志目录
- [家里蹲大学数学杂志]第266期中南大学2013年高等代数考研试题参考解答
因为还是有人到处传来传去,所以收回了, 要见请看: 家里蹲大学数学杂志目录
- [家里蹲大学数学杂志]第418期南开大学2013年实变函数期末考试试题参考解答
1. 设 $A$ 为非可数的实数集合. 证明: 存在整数 $n$ 使得 $A\cap [n,n+1]$ 为可数集. ($15'$) 证明: 用反证法. 若 $$\bex A\cap [n,n+1]\m ...
- 家里蹲大学数学杂志期刊模式目录
张祖锦第1卷第1期华南理工大学2010年数学分析考研试题参考解答 张祖锦第1卷第2期华南理工大学2010年高等代数考研试题参考解答 张祖锦第1卷第3期华南理工大学2009年数学分析考研试题参考解答 张 ...
- [家里蹲大学数学杂志]第390期中国科学院大学2014-2015-1微积分期末考试试题参考解答...
1. ($5'$) 利用 $\ve-N$ 语言证明 $$\bex \vlm{n}\frac{2015\cdot 2^n+20\sin n}{n!}=0. \eex$$ 证明: 对 $\forall\ ...
- [家里蹲大学数学杂志]第048期普林斯顿高等研究所的疯子们
文心孤竹发帖, 张祖锦整理如下 1 头号大疯子---Albert Einstein(爱因斯坦) 最近在构思写一写普林斯顿高等研究所的疯子们. 本来想先谈谈第一任院长, 可以没找到照片, 所以转而谈里面 ...
- [家里蹲大学数学杂志]第410期定积分难题
1. (1). 设 $x\geq 0$, $n$ 为自然数, 证明: $$\bex x^n\geq n(x-1)+1; \eex$$ (2). $\forall\ n$, 求证: $$\bex \in ...
最新文章
- linux命令之cpio
- 网络营销再掀波澜,微博独领风骚
- Gumbel-Softmax Trick和Gumbel分布 附VAE讲解
- CV之FD之HOG:图像检测之基于HOG算法、简介、代码实现(计算图像相似度)之详细攻略
- bzoj 1031 [JSOI2007]字符加密Cipher 后缀数组
- 《看聊天记录都学不会C#?太菜了吧》(3)变量:我大哥呢?$:小弟我罩着你!
- 小程序triggerevent 传参_微信小程序——无限递归的层次列表
- 三维空间两直线/线段最短距离、线段计算算法 【转】
- 中国石油大学(华东)计算机科学与技术,2017年中国石油大学(华东)函授本科计算机科学与技术专业...
- 荣耀50 Pro+配置参数曝光:AMOLED高刷屏+骁龙888旗舰芯片
- 小米MIX 4概念渲染图曝光:无孔屏下摄像头果真科幻
- document 对象 html文档内容
- python的书籍推荐_python 书籍推荐
- JavaScript变量的声明与使用以及命名规范(3)
- Q98:三角形网格细分Bezier曲面时,注意三角形顶点的顺序(确保其对应的法向量向外)
- python比较运算符用于两个数_比较运算符用于比较两个数,其返回的结果只能是True或False(1.0分)_学小易找答案...
- gif透明背景动画_汉服美女表情包(PS做GIF动图简易教程分享)
- 计算机编程语言排行榜—TIOBE世界编程语言排行榜(2021年11月份最新版)
- 贝塔自助授权系统php源码,贝塔自助授权系统v1.1
- 地铁与日本移动互联网
热门文章
- python中的散点图代码-python – 带有图例的matplotlib散点图
- python手机版下载3.7.3-Python 3.7.0 来了!
- python画三维立体图-python_matplotlib画三维图
- python语法基础知识总结-Python基础知识梳理 - 第01部分
- python跟java-还在纠结选Python还是Java?看完就有数了
- python手机版下载苹果版-Pyto-Python3
- python开源代码-这7个开源的Python库,让你轻松代码分析
- php7和python3性能对比-ava、Python和PHP三者的区别
- python处理excel视频-从零基础开始用Python处理Excel数据 视频教程
- python入门基础代码图-python入门基础知识(代码)