[家里蹲大学数学杂志]第427期与反对称矩阵有关的一个行列式

设 $A$ 是 $n$ 阶实反对称矩阵, $D$ 是对角元均大于零的实对角矩阵. 试证: $|D+A|>0$.

证明:

(1). 实反对称矩阵 $A$ 的特征值为纯虚数或零: $$\beex \bea &\quad A\al=\lm\al\quad(\al\neq 0)\\ &\ra A^TA\al=-AA\al=-\lm^2\al\\ &\ra 0\leq\sen{A\al}^2=\al^*A^TA\al=-\lm^2\al^*\al\\ &\ra \lm^2\leq 0. \eea \eeex$$

(2). 若 $D$ 为对角阵, 则由 (1), $D+A$ 的特征值为 $$\bex 1+b_ki,\ 1-b_ki\ (1\leq k\leq s,\ b_k\in\bbR),\quad \underbrace{1,\cdots,1}_{n-2s}. \eex$$ 而 $$\bex |D+A|=\prod_{k=1}^s (1+b_ki)(1-b_ki)=\prod_{k=1}^s (1+b_k^2)\geq 1. \eex$$

(3). 对一般的 $D=\diag(d_1,\cdots,d_n),\ d_i>0$, 取 $$\bex \vLm=\diag(\sqrt{d_1},\cdots,\sqrt{d_n}), \eex$$ 则 $$\bex |D+A|=|\vLm^2+A| =|\vLm^T(E+\vLm^{-T}A\vLm^{-1})\vLm| =|D|\cdot |E+\vLm^{-T}A\vLm^{-1}|. \eex$$ 注意到 $\vLm^{-T}A\vLm^{-1}$ 仍然是实反对称矩阵, 由 (2), $|E+\vLm^{-T}A\vLm^{-1}|>0$, $|D+A|>0$.

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