我想在列车里和你相爱

阳光流淌

都漫过我们的灵魂尽头

然后看着人间

安静的盛开在一扇窗里

1.原理介绍

在阅读本文前建议先阅读上一篇文章 “数据降维：主成分分析法（PCA）”，因为在本文中需要用到部分数据降维中的数据。

用主成分分析确定权重有：指标权重等于以主成分的方差贡献率为权重，对该指标在各主成分线性组合中的系数的加权平均的归一化。

因此，要确定指标权重需要知道三点：

A.指标在各主成分线性组合中的系数

B.主成分的方差贡献率

C.指标权重的归一化

通过前文利用主成分分析对数据降维我们可以得到以下数据：

A.前p个主成分的特征值以及对应的特征向量

B.前p个主成分特征值各自的方差贡献率

2.步骤详解

2.1 确定指标在各主成分线性组合中的系数

假设现有一组数据，有n个指标，m条待评价对象。

用主成分分析法可以的到前p个主成分以及其对应的特征值 $\alpha$ 和特征向量 $\beta$ 。

则每个主成分中对应指标的系数为：

每个主成分都可以用如下的线性组合表示：

2.2 利用主成分的方差贡献率确定综合得分模型系数

记前p个主成分特征值的方差贡献率为 $\varphi$ ，综合得分模型系数为 $\gamma$ （ $\gamma$ 对应每个指标的综合系数），则：

则，得到综合得分模型为：

2.3 指标权重归一化

3. 案例分析

3.1 数据获取

本文所用数据均为上文数据降维：主成分分析法（PCA）所计算结果：

	p1	p2	p3	p4	p5	p6	p7
特征值	2045.737	1273.595	950.6142	821.2534	361.4991	260.859	175.7022
贡献率	34.43%	21.44%	16.00%	13.82%	6.08%	4.39%	2.96%
特征向量	0.414	-0.13	0.041	0.193	-0.125	0.768	0.077
	-0.282	-0.483	0.07	-0.009	-0.733	-0.082	-0.328
	-0.357	0.296	0.454	0.245	-0.109	0.406	-0.181
	-0.264	-0.08	-0.466	0.657	0.303	0.006	-0.404
	-0.539	-0.189	0.259	-0.046	0.22	-0.019	0.373
	0.096	-0.012	-0.455	0.219	-0.402	-0.082	0.46
	0.066	-0.571	0.27	0.396	0.187	-0.058	0.402
	-0.166	0.539	0.07	0.369	-0.312	-0.131	0.355
	0.468	0.059	0.467	0.358	-0.044	-0.459	-0.228

3.2 确定指标在各主成分线性组合中的系数

 //计算每个指标在不同主成分线性组合中的系数public double[][] coefficient(double[][] comp){double[][] coeff = new double[comp.length-1][comp[0].length];//每列存储每个主成分对应的系数var = new double[comp[0].length];for(int j=0;j<coeff[0].length ;j++) {var[j] = comp[0][j];for(int i=1;i<coeff.length ;i++) {coeff[i-1][j] = comp[i][j]/Math.sqrt(comp[0][j]);}}return coeff;}

输出：

3.3 利用主成分的方差贡献率确定综合得分模型系数

 public double[] var_cont(double[][] coefficient) {double[] cont = new double[var.length];//每个特征值对应的贡献率double[] var_cont = new double[coefficient.length];double total = 0;double sum = 0;System.out.println("请按以下特征值顺序依次输入对应的贡献率！");for(int i=0;i<var.length ;i++) {System.out.print(var[i]+"     ");}System.out.println();for(int i=0;i<var.length ;i++) {cont[i] = input.nextDouble();}for(int i=0;i<coefficient.length ;i++) {for(int j=0;j<coefficient[0].length ;j++) {sum += coefficient[i][j]*cont[j];total += cont[j];}var_cont[i] = sum/total;}return var_cont;}

输出：

3.4 指标权重归一化

在此模块做了一点变动，由于在计算过程中存在负数，导致最后求得的权重也存在负数，所以在此我们找出负数中最小的值，让每一个数都加上该值得绝对值，在进行运算。

 /*归一化权重* varcont:综合得分模型系数*/public double[] unifor(double[] varcont) {double sum=0;double min=varcont[0];for(int i=0;i<varcont.length ;i++) {if(varcont[i] < min) {min =varcont[i];}}//若果没有负数则不做变动if(min >= 0) {min = 0;}for(int i=0;i<varcont.length ;i++) {sum += varcont[i]+Math.abs(min);}for(int i=0;i<varcont.length ;i++) {varcont[i] = (varcont[i]+Math.abs(min))/sum;}return varcont;}

输出：

4. 完整代码（Java）

package pca_weight;import java.io.FileInputStream;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStream;
import java.util.Scanner;import jxl.Cell;
import jxl.Sheet;
import jxl.Workbook;
import jxl.read.biff.BiffException;
import jxl.write.WriteException;/** 输入为成分矩阵，即前m个特征值及其对应的特征向量组成的矩阵* 其中第一行为特征值，每列除第一行外其余为该特征值对应的特征向量*/public class PCA_weight {int rows,cols;double[] var;//存储特征值Scanner input = new Scanner(System.in);//输出一维矩阵public void matrixoutput1(double[] x) {for(int i=0;i<x.length;i++) {System.out.print(String.format("%.3f\t", x[i]));}System.out.println();}//输出二维矩阵public void matrixoutput(double[][] x) {for(int i=0;i<x.length;i++) {for(int j=0;j<x[0].length;j++) {System.out.print(String.format("%.3f\t", x[i][j]));}System.out.println();}}//读取数据public double[][] read(String filepath) throws IOException, BiffException,WriteException {//创建输入流InputStream stream = new FileInputStream(filepath);//获取Excel文件对象Workbook  rwb = Workbook.getWorkbook(stream);//获取文件的指定工作表 默认的第一个Sheet sheet = rwb.getSheet("Sheet1");rows = sheet.getRows();cols = sheet.getColumns();double[][] componentMartix = new double[rows][cols];//成分矩阵//row为行for(int i=0;i<sheet.getRows();i++) {for(int j=0;j<sheet.getColumns();j++) {String[] str = new String[sheet.getColumns()];Cell cell = null;cell = sheet.getCell(j,i);    str[j] = cell.getContents();componentMartix[i][j] = Double.valueOf(str[j]);}}return componentMartix;//返回原始矩阵}//计算每个指标在不同主成分线性组合中的系数public double[][] coefficient(double[][] comp){double[][] coeff = new double[comp.length-1][comp[0].length];//每列存储每个主成分对应的系数var = new double[comp[0].length];for(int j=0;j<coeff[0].length ;j++) {var[j] = comp[0][j];for(int i=1;i<coeff.length ;i++) {coeff[i-1][j] = comp[i][j]/Math.sqrt(comp[0][j]);}}return coeff;}public double[] var_cont(double[][] coefficient) {double[] cont = new double[var.length];//每个特征值对应的贡献率double[] var_cont = new double[coefficient.length];double total = 0;double sum = 0;System.out.println("请按以下特征值顺序依次输入对应的贡献率！");for(int i=0;i<var.length ;i++) {System.out.print(var[i]+"     ");}System.out.println();for(int i=0;i<var.length ;i++) {cont[i] = input.nextDouble();}for(int i=0;i<coefficient.length ;i++) {for(int j=0;j<coefficient[0].length ;j++) {sum += coefficient[i][j]*cont[j];total += cont[j];}var_cont[i] = sum/total;}return var_cont;}/*归一化权重* varcont:综合得分模型系数*/public double[] unifor(double[] varcont) {double sum=0;double min=varcont[0];for(int i=0;i<varcont.length ;i++) {if(varcont[i] < min) {min =varcont[i];}}//若果没有负数则不做变动if(min >= 0) {min = 0;}for(int i=0;i<varcont.length ;i++) {sum += varcont[i]+Math.abs(min);}for(int i=0;i<varcont.length ;i++) {varcont[i] = (varcont[i]+Math.abs(min))/sum;}return varcont;}public static void main(String[] args) throws IOException, BiffException, WriteException {PCA_weight pw = new PCA_weight();System.out.println("原始数据为：");double[][] comp = pw.read("pca_weight.xls");pw.matrixoutput(comp);System.out.println("指标在不同主成分线性组合中的系数：");double[][] coefficient = pw.coefficient(comp);pw.matrixoutput(coefficient);double[] var_cont = pw.var_cont(coefficient);System.out.println("综合得分模型系数：");pw.matrixoutput1(var_cont);System.out.println("每个指标的权重依次为：");for(int i=0;i<var_cont.length;i++) {System.out.println(pw.unifor(var_cont)[i]);}}}

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