一、格林公式

定理1（格林公式） 设平面有界闭区域(σ)(\sigma)(σ)由一条分段光滑的简单闭曲线所围成，(σ)(\sigma)(σ)的边界曲线记为(C)(C)(C)，函数P,Q∈C(1)((σ))P,Q\in C^{(1)}((\sigma))P,Q∈C(1)((σ))，则∬(σ)(∂Q∂x−∂P∂Y)dσ=∮(+C)P(x,y)dx+Q(x,y)dy\iint\limits_{(\sigma)}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial Y}\right)\text d\sigma=\oint_{(+C)}P(x,y)\text dx+Q(x,y)\text dy(σ)∬(∂x∂Q−∂Y∂P)dσ=∮(+C)P(x,y)dx+Q(x,y)dy其中(+C)(+C)(+C)表示(C)(C)(C)为正向（一般指逆时针）。

二、平面线积分与路径无关的条件+无旋场、保守场、有势场

定理2 设区域(σ)⊆R2(\sigma)\subseteq \mathbb R^2(σ)⊆R2，P,Q∈C((σ))P,Q\in C((\sigma))P,Q∈C((σ))，A,B∈(σ)A,B\in(\sigma)A,B∈(σ)，则下列三个命题等价：
(1) 沿(σ)(\sigma)(σ)内任一分段光滑的简单闭曲线CCC，均有∮(+C)Pdx+Qdy=0\oint_{(+C)}P\text dx+Q\text dy=0∮(+C)Pdx+Qdy=0成立；
(2) 线积分∫(A)(B)Pdx+Qdy\int_{(A)}^{(B)}P\text dx+Q\text dy∫(A)(B)Pdx+Qdy的值在(σ)(\sigma)(σ)内与积分路径无关；
(3) 被积表达式Pdx+QdyP\text dx+Q\text dyPdx+Qdy在(σ)(\sigma)(σ)内是某个二元函数u(x,y)u(x,y)u(x,y)的全微分。

环量：对于向量场A(M)=Pi+Qj\bm A(M)=P\bm i+Q\bm jA(M)=Pi+Qj，称沿闭曲线(C)(C)(C)的第二型线积分∮(C)A(M)⋅ds\oint_{(C)}\bm A(M)\cdot\bold d\bm s∮(C)A(M)⋅ds为向量场A\bm AA沿闭曲线(C)(C)(C)的环量。

无旋场：沿(σ)(\sigma)(σ)内任一分段光滑的简单闭曲线CCC线积分均为零，即环量均为零
保守场：线积分∫(C)A(M)⋅ds\int_{(C)}\bm A(M)\cdot\bold d\bm s∫(C)A(M)⋅ds的值与路径无关
有势场：存在u(x,y)u(x,y)u(x,y)使得du=Pdx+Qdy\text du=P\text dx+Q\text dydu=Pdx+Qdy

定理2表明：无旋场、保守场、有势场相互等价

定理3 设(σ)(\sigma)(σ)为一平面单连通域，P,Q∈C(1)((σ))P,Q\in C^{(1)}((\sigma))P,Q∈C(1)((σ))，则定理2中的三个命题成立的充要条件是∂Q∂x≡∂P∂Y,(x,y)∈σ\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv\frac{\partial P}{\partial Y},\quad(x,y)\in\sigma∂x∂Q≡∂Y∂P,(x,y)∈σ即四个条件等价。

三、高斯公式+散度

定理4（高斯公式） 设空间有界闭区域(V)(V)(V)由分片光滑的闭曲面(S)(S)(S)所围成，A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))∈C(1)((V))\bm A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\in C^{(1)}((V))A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))∈C(1)((V))，则∭(V)(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dV=∯(S)Pdydz+Qdzdx+Rdxdy\iiint\limits_{(V)}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\text dV=\oiint\limits_{(S)}P\text dy\text dz+Q\text dz\text dx+R\text dx\text dy(V)∭(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dV=(S)∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy其中(S)(S)(S)的法向量朝外。

简写为：∭(V)∇⋅AdV=∯(S)A⋅dS\iiint\limits_{(V)}\nabla\cdot\bm A\text dV=\oiint\limits_{(S)}\bm A\cdot\bold d\bm S(V)∭∇⋅AdV=(S)∬A⋅dS通量：A(M)\bm A(M)A(M)对曲面(S)(S)(S)的第二型面积分∬(S)A⋅dS\iint\limits_{(S)}\bm A\cdot\bold d\bm S(S)∬A⋅dS的物理意义是向量场A(M)\bm A(M)A(M)对曲面(S)(S)(S)的通量
通量密度/散度：div A(M)=lim⁡(ΔV→M)∯(S)A(M)⋅dSΔV=∇⋅A=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z\text{div}\ \bm A(M)=\lim\limits_{(\Delta V\to M)}\frac{\oiint\limits_{(S)}\bm A(M)\cdot\bold d\bm S}{\Delta V}=\nabla\cdot\bm A=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}div A(M)=(ΔV→M)limΔV(S)∬A(M)⋅dS=∇⋅A=∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R

通量有关的计算公式：
(1) ∇⋅(CA)=C∇⋅A\nabla\cdot(C\bm A)=C\nabla\cdot\bm A∇⋅(CA)=C∇⋅A
(2) ∇⋅(A±B)=∇⋅A±∇⋅B\nabla\cdot(\bm A\pm\bm B)=\nabla\cdot\bm A\pm\nabla\cdot\bm B∇⋅(A±B)=∇⋅A±∇⋅B
(3) ∇⋅uA=u∇⋅A+∇u⋅A\nabla\cdot u\bm A=u\nabla\cdot\bm A+\nabla u\cdot\bm A∇⋅uA=u∇⋅A+∇u⋅A

四、斯托克斯公式+旋度

定理5（斯托克斯公式） 设区域(G)⊆R3(G)\subseteq\mathbb R^3(G)⊆R3，P,Q,R∈C(1)((G))P,Q,R\in C^{(1)}((G))P,Q,R∈C(1)((G))，(C)(C)(C)为(G)(G)(G)内一条分段光滑的有向简单闭曲线，(S)(S)(S)是以(C)(C)(C)为边界且完全位于(G)(G)(G)的任一分片光滑的有向曲面，(C)(C)(C)的方向与(S)(S)(S)的法向量符合右手螺旋定则，则∮(C)Pdx+Qdy+Rdz=∬(S)(∂R∂y−∂Q∂z)dydz+(∂P∂z−∂R∂x)dzdx+(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\oint_{(C)}P\text dx+Q\text dy+R\text dz=\iint\limits_{(S)}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\text dy\text dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\text dz\text dx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\text dx\text dy∮(C)Pdx+Qdy+Rdz=(S)∬(∂y∂R−∂z∂Q)dydz+(∂z∂P−∂x∂R)dzdx+(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy简写为：∮(C)A⋅ds=∬(S)(∇×A)⋅dS\oint_{(C)}\bm A\cdot\bold d\bm s=\iint\limits_{(S)}(\nabla\times\bm A)\cdot\bold d\bm S∮(C)A⋅ds=(S)∬(∇×A)⋅dS环量：空间向量场A\bm AA沿空间闭曲线(C)(C)(C)的线积分∮(C)A(x,y,z)⋅ds\oint_{(C)}\bm A(x,y,z)\cdot\bold d\bm s∮(C)A(x,y,z)⋅ds称为A(x,y,z)\bm A(x,y,z)A(x,y,z)沿闭曲线(C)(C)(C)的环量，它表示了A\bm AA绕(C)(C)(C)旋转趋势的大小。
环量密度：令A\bm AA沿微小曲面(ΔS)(\Delta S)(ΔS)的边界(ΔC)(\Delta C)(ΔC)的环量为ΔΓ\Delta\GammaΔΓ，n\bm nn为(ΔS)(\Delta S)(ΔS)的法向量，则定义A\bm AA在点MMM沿n\bm nn方向的环量密度为dΓdS=lim⁡(ΔS)→M∮(ΔC)A⋅dSΔS\frac{\text d\Gamma}{\text dS}=\lim\limits_{(\Delta S)\to M}\frac{\oint_{(\Delta C)}\bm A\cdot\bold d\bm S}{\Delta S}dSdΓ=(ΔS)→MlimΔS∮(ΔC)A⋅dS其中(ΔS)(\Delta S)(ΔS)不断缩小到点MMM且保持法向量为n\bm nn不变。它反映了A\bm AA在点M\bm MM绕方向n\bm nn的旋转趋势大小。
旋度：rotA=∇×A=∣ijk∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣\bold{rot}\ A=\nabla\times\bm A=\begin{vmatrix}\bm i&\bm j&\bm k\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}rot A=∇×A=∣∣∣∣∣∣i∂x∂Pj∂y∂Qk∂z∂R∣∣∣∣∣∣
则dΓdS=rotA⋅en=∥rotA∥cos⁡(rotA,en)\frac{\text d\Gamma}{\text dS}=\bold{rot}\ A\cdot\bm e_n=\|\bold{rot}\ A\|\cos(\bold{rot}\ A,\bm e_n)dSdΓ=rot A⋅en=∥rot A∥cos(rot A,en)

旋度有关的计算公式：
(1) ∇×(CA)=C∇×A\nabla\times(C\bm A)=C\nabla\times\bm A∇×(CA)=C∇×A
(2) ∇×(A±B)=∇×A±∇×B\nabla\times(\bm A\pm\bm B)=\nabla\times\bm A\pm\nabla\times\bm B∇×(A±B)=∇×A±∇×B
(3) ∇×uA=u(∇×A)+∇u×A\nabla\times u\bm A=u(\nabla\times\bm A)+\nabla u\times\bm A∇×uA=u(∇×A)+∇u×A

场的其他计算公式：
(1) ∇⋅(A×B)=B⋅(∇×A)−A⋅(∇×B)\nabla\cdot(\bm A\times\bm B)=\bm B\cdot(\nabla\times\bm A)-\bm A\cdot(\nabla\times\bm B)∇⋅(A×B)=B⋅(∇×A)−A⋅(∇×B)
(2) ∇⋅(∇×A)=0\nabla\cdot(\nabla\times\bm A)=0∇⋅(∇×A)=0（暴力运算即可证明）
(3) ∇×(∇u)=0\nabla\times(\nabla u)=\bm 0∇×(∇u)=0（因为有势场是无旋场）
(4) ∇⋅(∇u)=Δu=∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2\nabla\cdot(\nabla u)=\Delta u=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}∇⋅(∇u)=Δu=∂x2∂2u+∂y2∂2u+∂z2∂2u
(5) ∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A\nabla\times(\nabla\times A)=\nabla(\nabla\cdot\bm A)-\nabla^2\bm A∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A，其中∇2A=ΔA=(ΔP,ΔQ,ΔR)\nabla^2\bm A=\Delta \bm A=(\Delta P,\Delta Q,\Delta R)∇2A=ΔA=(ΔP,ΔQ,ΔR)

五、重要的特殊向量场

1. 无旋场（基于斯托克斯公式）

定义设有向量场A(M)∈C((G)),(G)⊆R3\bm A(M)\in C((G)),(G)\subseteq\mathbb R^3A(M)∈C((G)),(G)⊆R3。
(1) 若线积分∫(A)(B)A(M)⋅ds\int_{(A)}^{(B)}\bm A(M)\cdot\bold d\bm s∫(A)(B)A(M)⋅ds的值在(G)(G)(G)内与路径无关，则称A\bm AA为保守场，其中A,BA,BA,B为(G)(G)(G)内任意两点；
(2) 若在(G)(G)(G)内恒有rotA=0\bold{rot}\ A=0rot A=0，则称A\bm AA为无旋场；
(3) 若存在定义在(G)(G)(G)上的函数uuu，使得A=∇u\bm A=\nabla uA=∇u，则称A\bm AA为有势场，并称uuu为A\bm AA的势函数。

定理6 设(G)(G)(G)是一维单连域，A=(P,Q,R)∈C(1)((G))\bm A=(P,Q,R)\in C^{(1)}((G))A=(P,Q,R)∈C(1)((G))，则下列四个命题等价：
(1) AAA是无旋场；
(2) AAA是保守场；
(3) AAA是有势场；
(4) 沿(G)(G)(G)内任一简单闭曲线(C)(C)(C)均有∮(C)A(M)⋅ds=∮(C)Pdx+Qdy+Rdz=0\oint_{(C)}\bm A(M)\cdot\bold d\bm s=\oint_{(C)}P\text dx+Q\text dy+R\text dz=0∮(C)A(M)⋅ds=∮(C)Pdx+Qdy+Rdz=0

2. 无源场（基于高斯公式）

定义若在向量场A\bm AA的场域中处处都有∇⋅A=0\nabla\cdot\bm A=0∇⋅A=0，则称A\bm AA为无源场。

定理7 设(G)⊆R3(G)\subseteq\mathbb R^3(G)⊆R3是二维单连域，A∈C(1)((G))\bm A\in C^{(1)}((G))A∈C(1)((G))，则下列三个命题是等价的：
(1) A\bm AA是无源场；
(2) A\bm AA沿(G)(G)(G)内任一不自相交闭曲面(S)(S)(S)的通量为000，即∯(S)A⋅dS=0\oiint\limits_{(S)}\bm A\cdot\text d\bm S=0(S)∬A⋅dS=0；
(3) 在(G)(G)(G)内存在任一向量函数B(M)\bm B(M)B(M)，使得A=∇×B\bm A=\nabla\times\bm BA=∇×B，即A\bm AA是某向量场B\bm BB的旋度场，其中B\bm BB称为A\bm AA的一个向量势。

3. 调和场

定义既无源又无旋的向量场A\bm AA称为调和场，即在场域内恒有∇⋅A=0,∇×A=0\nabla\cdot\bm A=0,\quad\nabla\times\bm A=\bm 0∇⋅A=0,∇×A=0

【高等数学笔记】格林公式、高斯公式、斯托克斯公式、场论相关推荐

笔记：格林公式高斯公式斯托克斯公式
三大重要公式在高数的曲线曲面积分部分,格林公式.高斯公式和斯托克斯公式是三个十分十分重要的公式,利用这三个公式可以将复杂的积分转化为我们比较熟悉的积分进行解决.看似是三个公式,实则互相关联.现在将这 ...
再探格林公式、斯托克斯公式、高斯公式
再探格林公式.斯托克斯公式.高斯公式 1.再探格林公式.斯托克斯公式.高斯公式 1.1 格林公式(环量与旋度的联系) 1.2 斯托克斯公式(对格林公式的推广) 1.3 高斯公式(通量与散度的联系) 1 ...
曲线积分，格林公式，斯托克斯公式
个人重点 (除了对弧长的线积分,别的线积分都请注意方向!!!!) 1.(对弧长,对坐标)曲线积分 2.两类曲线积分之间的联系 3.格林公式 4.曲线积分与路径无关的条件 5.斯托克斯公式 6.已知某函 ...
高等数学笔记：定积分相关公式
繁星数学随想录·笔记卷摘录卷定积分相关公式 01 对称区间的积分公式 ∫−aaf(x)dx={0f(x)为奇函数 2∫0af(x)dxf(x)为偶函数 \int_{-a}^{a} f(x) d x ...
哈密顿算子和拉普拉斯算子格林公式高斯公式和斯托克斯公式多重积分的分部积分公式
目录哈密顿算子(Hamiltionian) ∇\nabla∇ 标量性质矢量性质拉普拉斯算子(Laplace) Δ\DeltaΔ 标量性质矢量性质格林公式高斯公式和斯托克斯公式多重积分的分部 ...
cgcs2000高斯平面直角坐标_多元微积分——环量、旋度与格林、斯托克斯公式，通量、散度与高斯公式...
学习阶段:大学数学. 前置知识:多元微积分.曲线积分.曲面积分. tetradecane:曲线.曲面积分的几何.物理意义,及一二型的联系zhuanlan.zhihu.com 1. 向量场二维向量场 ...
【考研笔记】数学一 · 高等数学笔记
考研一战顺利上岸啦,报考专业计算机科学与技术,考的数一英一.现在离开学还有段时间,所以趁机把自己的笔记都整理一下,希望可以帮到一些备考的同学. 写在前面: 首先说一下自己的复习计划跟想法.数一今年有点 ...
第二类曲面积分、场论、高斯公式和斯托克斯公式
提示:本文的适用对象为已修过<微积分A1>的非数学系学生,文中题型方法为个人总结,为个人复习使用.部分理解虽然不太严谨,但对于解题的实用性较强.若有疏漏or错误,欢迎批评指正. 0. 对格 ...
重积分 | 【拓展】格林公式、高斯公式、斯托克斯公式之间的联系
数学分析内容,帮助理解即可. 格林公式是多元函数微积分学中的一个重要公式,我们默认已知此直角坐标下的算式, 用它讨论格林公式的两种形式,并很自然地推广到高斯公式和斯托克斯公式. 一.格林公式的旋度形 ...
高等数学笔记-苏德矿-第十章曲线积分和曲面积分-第五节-格林公式
高等数学笔记-苏德矿第十章曲线积分和曲面积分第五节格林公式一.基本概念 01 闭曲线的方向如果是非封闭曲线 ΓAB\Gamma_{AB}ΓAB ,只需知道起点与终点,方向确定. 如果是封 ...

【高等数学笔记】格林公式、高斯公式、斯托克斯公式、场论

文章目录