第五十三篇三角函数公式大全

1. 单位圆

根据单位圆推出6个基本公式：（r=1）

sinθ=y；（正弦函数）cosθ=x；（余弦函数）tanθ=y/x；（正切函数）cotθ=x/y；（余切函数）secθ=1/x；（正割函数）cscθ=1/y；（余割函数）

2.有单位圆推出的倒数关系函数

tanθ*cotθ=1;

sinθ*cscθ=1;

cosθ*secθ=1;

根据勾股定理 sin^2θ+cos^2θ=1；

3.三角函数的诱导公式

三角函数诱导公式是这样一种公式：将角n*（π/2）±θ转化为θ的三角函数；

sinθ=cos（π/2-θ）；

cosθ=sin（π/2-θ）；

sin（π+θ）=-sinθ；

cos（π+θ）=-cosθ；

其他的可以根据奇偶函数变换以及周期变换，整理可以推出。

sinθ是周期为2π的奇函数；

cosθ是周围为2π的偶函数；

tanθ是周期为π的奇函数；

例如推导sin（π-θ）；

进行奇函数变换sin（π-θ）=-sin（-π+θ）;

进行2π周期变换-sin(-π+θ)=-sin（2π-π+θ）=-sin（π+θ）；

由于sin（π+θ）=-sinθ；

所以-sin（π+θ）=sinθ；

所以sin（π-θ）=sinθ。

4.基本公式

先介绍向量的点积运算法则：

平面向量a（x1,y1）,平面向量b（x2，y2）；

则a·b=（x1x2+y1y2）;

两向量的点积：；

假设单位向量a和正x轴夹角为 x，向量b和正x轴夹角为y，

则a是（cosx,sinx）;b是（cosy，siny）；

根据向量点积公式1：cosxcosy+sinxsiny;

根据单位圆向量点积公式：1*1*cos(x-y)；

所以俩方程式相等：cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny;

5.和差角公式

将基本公式的y用-y代替：

cos（x+y）=cos（x-（-y））=cosxcos(-y)+sinxsin(-y)=cosxcosy-sinxsiny;

根据sinx=cos(π/2-x):

sin(x+y)=cos(π/2-x-y)=cos(π/2-x)cosy+sin(π/2-x)siny=sinxcosy+cosxsiny;

将-y代替y：

sin（x-y）=sinxcos(-y)+cosxsin(-y)=sinxcosy-cosxsiny;

根据以上公式可以算出

tan（x+y）=（tanx+tany）/（1-tanx*tany）;

tan(x-y)=(tanx-tany)/(1-tanx*tany);

6.倍角公式和半角公式

sin2x=sin（x+x）=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosx;

cos2x=cos(x+x)=cosx*cosx-sinxsinx=cos^2x-sin^2x;

tan2x=tan(x+x)=(tanx+tanx)/(1-tanx*tanx)=2tanx/(1-tan^2x);

半角公式也就是所谓的降幂公式：

根据1=cos^2x+sin^2x

cos2x=cos^2x-sin^2x=cos^2x-(1-cos^2x)=2cos^2x-1;

所以cos^2x=(cos2x+1)/2;

变换自变量推出cos^2(x/2)=(1+cosx)/2;

同理推出sin^2(x/2)=(1-cosx)/2;

以上两式可以推出tan^2(x/2)=(1-cox)/(1+cosx);

7.积化和差公式

有

sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny;

sin（x-y）=sinxcosy-cosxsiny;

可以容易推出

sinxcosy=1/2(sin(x+y)+sin(x-y));

cosxsiny=1/2(sin(x+y)-sin(x-y));

有

cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny；

cos（x+y）=cosxcosy-sinxsiny;

可以推出

cosx*cosy=1/2(cos(x-y)+cos(x+y));

sinx*siny=1/2(cos(x-y)-cos(x+y));

8.和差化积公式

令u=x+y,v=x-y 则

x=1/2（u+v）;y=1/2(u-v);

上述的四个式子可以化成如下的公式：

sinxcosy=1/2(sin(x+y)+sin(x-y));带入上述变量

sin(1/2(u+v))cos(1/2(u-v))=1/2(sinu+sinv);

推出sinu+sinv=2[sin(u+v)/2*cos(u-v)/2];

9.万能公式

万能公式是将sinx、cosx和tanx均用tan（x/2）表示。因为tan（x/2）的值域为整个实数区间，所以方便考察很多性质。

tanx的万能公式就是其二倍角公式

tan2x=tan(x+x)=(tanx+tanx)/(1-tanx*tanx)=2tanx/(1-tan^2x)；

所以tanx=2tan(x/2)/(1-tan^2x);

sin2x=2sinx*cosx;

因为1=sin^2x+cos^2x; 上式除以1推出

sin2x=2sinx*cosx/(cos^2x+sin^2x);

分子和分母同时除以cos^2x;

2sinx/cosx/(1+tan^2x)=2tanx/(1+tan^2x)=sin2x;

所以sinx=2tan(x/2)/(1+tan^2(x/2));

cos2x=cos^2x-sin^2x;除以1（cos^2x+sin^2x）;

(cos^2x-sin^2x)/(cos^2x+sin^2x), 分子分母同时除以cos^2x；

（1-tan^2x）/（1+tan^2x）;

所以cos2x=（1-tan^2x）/（1+tan^2x）;

则万能公式cosx=（1-tan^2(x/2)）/（1+tan^2(x/2)）;

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