三角函数公式及推导(祥尽解释)

1-----诱导公式(之一)：

常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ＋α)＝sinαcos(2kπ＋α)＝cosαtan(2kπ＋α)＝tanαcot(2kπ＋α)＝cotα

公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π＋α)＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanαcot(π＋α)＝cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tanαcot(－α)＝－cotα

公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanαcot(π－α)＝－cotα

1-----诱导公式(之二)：

公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π－α)＝－sinαcos(2π－α)＝cosαtan(2π－α)＝－tanαcot(2π－α)＝－cotα

公式六之一：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2＋α)＝cosαcos(π/2＋α)＝－sinαtan(π/2＋α)＝－cotαcot(π/2＋α)＝－tanαsin(π/2－α)＝cosαcos(π/2－α)＝sinαtan(π/2－α)＝cotαcot(π/2－α)＝tanα

公式六之二

sin(3π/2＋α)＝－cosαcos(3π/2＋α)＝sinαtan(3π/2＋α)＝－cotαcot(3π/2＋α)＝－tanαsin(3π/2－α)＝－cosαcos(3π/2－α)＝－sinαtan(3π/2－α)＝cotαcot(3π/2－α)＝tanα(以上k∈z)

※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于k·π/2±α(k∈z)的个三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. (奇变偶不变)然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。(符号看象限)

上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α(k∈z)，-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”． 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”； 第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”； 第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”； 第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．

口诀总结

公式七：额外的定义

(也是重要的呀)

2---同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式

倒数关系:tanα ·cotα＝1sinα ·cscα＝1cosα ·secα＝1

商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝11＋tan^2(α)＝sec^2(α)1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

证明：

同角三角函数关系六角形记忆法

六角形记忆法：(参看图片或参考资料链接)构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中间1”的正六边形为模型。(1)倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；(2)商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻

的两个顶点上函数值的乘积。(主要是两条虚线两端的

三角函数值的乘积)。由此，可得商数关系式。(3)平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上

的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的

平方。

3---两角和差公式

两角和与差的三角函数公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβsin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβcos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβcos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ? ?? ?? ?? ?? ?? tanα＋tanβtan(α＋β)＝——————--? ?? ?? ?? ??