考研数学（二）知识点回顾及笔记（第五章 定积分及应用）
考研数学（二）知识点回顾及笔记
- 第五章 定积分及应用
- 知识点思维导图
- 一、背景
- 二、定积分的定义
- 三、定积分的一般性质
- 四、积分基本定理（★）
- 五、定积分的特殊性质
- 六、反常积分
- 七、定积分的几何应用
第五章 定积分及应用
知识点思维导图
一、背景
已知函数y=f(x)，求S的值的一类问题。
分析问题的思路：
(1)
①确定区间[a,b],a=x0<x1<x2…<xn=b
② [a,b]=[x0,x1]U[x1,x2]U…U[xn-1,xn]
③ △xi=xi-1（1《i《n）
(2)在[xi,xi-1]内取任意一点₰i，找到₰i与△Si的关系
(3)设λ=max{△x1,△x2…△xn},找到S与λ、f（₰i）和△xi的关系
例：
- 如图：已知L:y=f（x）,在[a,b]内，与x轴所围成的面积S是多少？
- 已知速度v=v(t)，t为时间，t∈[a,b],则路程S=？
二、定积分的定义
1、定义
2、注解（Notes）：
三、定积分的一般性质
1、注解（Notes）：
2、一般性质：
6、积分中值定理（最重要）
四、积分基本定理（★）
1、两个问题
2、注解（Notes）：
3、定理1
注解（Notes）：
4、定理2（牛顿莱布尼兹公式）
五、定积分的特殊性质
1、对称区间上函数的定积分性质
2、三角函数定积分性质
3、周期函数的定积分性质
六、反常积分
1、正常积分
2、反常积分
（一）区间无限
1、[a—+∞）
判别法：
2、(-∞—a]
3、(-∞—+∞)
注解（Notes）：┏-函数
（二）区间有限
1、(a，b]
判别法：
2、[a，b)
判别法：
3、[a，c)U(c，b]
4、综合题：
七、定积分的几何应用
（一）面积
1、情况1
2、情况2
3、情况3
注解（Notes）：弧微分ds及相关公式
4、情况4
（二）体积
1、情况1
2、情况2
3、情况3（数一，了解即可）
（三）弧长
1、情况1
2、情况2
3、补充
4、例题
5、相关公式图表
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