蓝桥杯基础练习 - 2n皇后问题解析

问题描述

给定一个n*n的棋盘，棋盘中有一些位置不能放皇后。现在要向棋盘中放入n个黑皇后和n个白皇后，使任意的两个黑皇后都不在同一行、同一列或同一条对角线上，任意的两个白皇后都不在同一行、同一列或同一条对角线上。问总共有多少种放法？n小于等于8。

解题思路：

本题有两个主要难点：（一）判断某个棋盘位置能否放置皇后。思路是通过对某一个位置的行标列标的增减，来访问它所在行所在列所在对角线的其它位置的元素，如果其它位置存在不为1的元素。则不能放置皇后；（二）模拟所有可能的放法，并找到成功放完所有皇后的放法，解决这一点需要用到递归函数（详细见代码）。

本文定义了两个函数解决上述两个难点。

完整代码如下

# 2022.1.6
# 蓝桥杯基础练习
# 试题名称：2n皇后问题
# 问题描述：给定一个n*n的棋盘，棋盘中有一些位置不能放皇后。
# 现在要向棋盘中放入n个黑皇后和n个白皇后，使任意的两个黑皇后
# 都不在同一行、同一列或同一条对角线上，任意的两个白皇后都不在
# 同一行、同一列或同一条对角线上。问总共有多少种放法？n小于等于8。# board是棋盘，row是二维列表的行标，col是列标，flag 是皇后的类型，2代表黑皇后，3代表白皇后
def able(board, row, col, flag):   # 此函数判断某位置是否能放置皇后a = rowb = colfor x in range(len(board)):    # 检查对应列if(board[x][col] == flag):return Falsewhile((a>=0) & (b>=0)):        # 检查左上角if(board[a][b] == flag):return Falsea -= 1b -= 1   a = rowb = colwhile((a>=0) & (b<=len(board)-1)): # 检查右上角if(board[a][b] == flag):return Falsea -= 1b += 1 return Truedef xiaqi(board, n, row, flag): # 递归函数：模拟所有放法。n是棋盘的行数global countif row == n:                # 当row=n时，说明放了一遍黑（白）皇后，要注意不一定能放完if flag == 2:xiaqi(board, n, 0, flag+1)if flag == 3:               # 放完黑皇后，再放白皇后#for x in range(n):#print(board[x])    # 打印输出放置成功的棋盘（题目不要求）#print()count += 1               for i in range(n):if row == n:continueif board[row][i] != 1:continueif board[row][i] == flag:continueif( able(board, row, i, flag) ):board[row][i] = flag         # 放皇后，并做标记，2代表黑皇后，3代表白皇后xiaqi(board, n, row+1, flag) # 在该递归分支中，放置下一行的皇后board[row][i] = 1            # 回溯count = 0                 # 放置成功数
n = int(input())
board = [list(map(int, input().split())) for i in range(n)]     # 获取棋盘
xiaqi(board, n, 0, 2)
print(count)

运行结果图：

打印输出放置成功的棋盘：

注：2代表黑皇后，3代表白皇后。

关于本题时间复杂度的问题：

在一开始，我定义了多个函数来判断棋盘位置是否能放置皇后，导致提交的代码因为超时不能得到100分，只有80多分，后来我将这多个函数写在一起变成一个函数后，问题成功解决了，代码不再超时，且得到了100分。

降低时间复杂度的一些方法：

1. 在不影响功能的前提下，尽可能地降低函数数量，因为调用函数需要花费时间。

2. 尽可能地减少循环的使用。

3. 学习更多的算法，减少使用暴力解题法

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