Manacher(马拉车)

Manacher

一、背景

1975年，Manacher发明了Manacher算法（中文名：马拉车算法），是一个可以在O(n)的复杂度中返回字符串s中最长回文子串长度的算法，十分巧妙。

让我们举个例子：
1.字符串：abbababa 最长回文子串：5（abbababa）

2.字符串：abcbbabbc 最长回文子串：7（abcbbabbc）

3.字符串：abccbaba 最长回文子串：6（abccbaba）

传统方法是，遍历每个字符，以该字符为中心向两边查找。时间复杂度为O(n^2)，效率很差；
但是Manacher算法的时间复杂度可以达到O(n)！

下面让我们看看它是怎么做的的吧

二、算法过程分析

回文分为奇回文（ababa）和偶回文（abba），这里比较难以处理，我们使用一个骚操作（划重点）。

我们将字符串首尾和每个字符间插入一个字符（注意：这个自符在串中并未出现）例如：’#’ s='abbadcacda’先转化成s_new=$#a#b#b#a#d#c#a#c#d#a#\0’(加粗的是边界)

这样原串中的偶回文（abba）与奇回文（adcacda），变成了（#a#d#d#a#）与（#a#d#c#a#c#d#a#）两个奇回文。

定义数组p，用p[i]表示以i为中心的最长回文半径。再次举个例子

（图片是借鉴了他人的）

定义两个变量mx和id。mx就是以id为中心的最长回文右边界，也就是mx=id+p[id]，随后我们需要mx做出它的最大贡献。

假设我们在求p[i]（以i为中心的最长回文半径），如果i<mx（如上图），那么我们就用mx和j来更新到我们已知的可以更新的最大长度，代码如下：

if(i<mx)  p[i]=min(p[2*id-i],mx-i);

2*id-i是i关于id的对称点（上图j）（证明：i-id=id-j），而p[j]表示以j为中心的最长回文半径，这样我们就可以利用p[j]和mx加快速度了。

为什么要用p[j]和mx-i取min来更新呢？
首先我们想一下，p[j]（以j为中心的最长回文半径）是已经知道了（因为是从前面扫过来的），若是p[j]>mx-i，我们是可以知道以j为中心，以mx的对称点到j的距离为半径形成的回文字符串是肯定存在的，并且id的左边直到mx的对称点与id的右边直到mx是对应的，所以mx是i目前可以更新到的最大回文半径；（还不明白的话就停下来画图好好想想）
若p[j]<mx-i，证明j的回文半径不到mx的对称点到j的距离，再次通过（id的左边直到mx的对称点与id的右边直到mx是对应的），所以p[i]=p[j]。
但是取完min并不是最大的回文半径，接下来的就暴力搜就好了

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[1100000];
char sn[1100000];
int a[1100000];
int ycl()
{int len=strlen(s);sn[0]='$';sn[1]='#';int sum=2;for(int i=0;i<=len;i++){sn[sum++]=s[i];sn[sum++]='#';}sn[sum]='\0';return sum;
}
int mlc()
{int cd=ycl();int mx=0,maxlen=-1,id;for(int i=1;i<=cd;i++){if(i<mx)a[i]=min(a[id*2-i],mx-i);else a[i]=1;while(sn[i-a[i]]==sn[a[i]+i])a[i]++;if(mx<a[i]+i){id=i;mx=a[i]+i;}maxlen=max(maxlen,a[i]-1);}return maxlen;
}
int main()
{scanf("%s",s);printf("%d",mlc());return 0;
}