Manacher(马拉车)算法

这是一篇菜鸡的算法小笔记！希望你喜欢！

前言

马拉车算法是用来查找一个字符串的最长回文子串的线性方法，是一个叫 Manacher 的人在 1975 年发明的，这个方法的最大贡献是在于将时间复杂度提升到了线性，这是非常了不起的！

预处理

这里就不赘述什么是回文串了！我相信你知道的！
由于回文串的长度可以是奇数也可以是偶数！要预处理一下，统一变成奇数，方法是在每一个字符的左右都加上一个特殊字符，比如加上 ‘#’。该字符是原字符串没出现过的。
例如：
fevef --> #f#e#v#e#f#
aba --> #a#b#a#
预处理后无论原字符串长度是奇数还是偶数，得到的字符串的长度都是奇数。这样就不用分情况讨论了！统一处理！
一般为防止越界，我们都会字符串的最前面和最后面再各加上一个其他的特殊字符，比如’$’ 、’^’。

回文子串的半径

我们需要一个和预处理后所得到的字符串 s 长度大小的辅助数组 p 来记录回文子串的半径！
p[i] 表示 s[i] 为中心的最长回文子串的半径。
例子：
# f # e # v # e # f #
1 2 1 2 1 6 1 2 1 2 1
然后你会惊奇地发现，p[i]-1就是以 s[i] 为中心的最长回文子串在原字符串的长度。
比如这里的p[5]=6，中心字符是v，整个最长回文串的长度是2*p[5]-1，因为每个原生字符的两边都有特殊字符，所以在回文子串中特殊字符的个数肯定比原生字符的个数多一个，即特殊字符的个数为p[5],原生字符的个数为p[5]-1。所以该回文子串在原字符串中的长度就为p[5]-1。这是个普遍的规律！

在求出所有的p[i]后，我们的问题就转化成了：求以最大 p[i] 所对应的 s[i] 为中心的最长回文子串！

求出记录回文子串半径的辅助数组p

朴素的计算方法是以一个字符为中心，向两边拓展，直到两边的字符不相同！但这不是我们需要的！

我们有一个更好的方法！这个求p数组的方法感觉跟KMP算法求next数组的方法是有相通之处的。不需要一个一个地去匹配，而是利用前面已知的信息来更好地求出辅助数组。
我们需要两个辅助变量：mx 和 id

mx 表示已遍历所得到的回文子串中能延伸到的最右端的位置
id 表示最右端能延伸到mx位置的回文子串的中心位置

因为 mx 是我们已知的能延伸到的最右端的位置，而我们是要利用前面已知的信息的并且 mx 位置之前的信息，我们都是可以利用的。那么我们就要尽可能去最大化 mx。

注意：下标为 mx 的字符并不包含在回文子串里

感觉可能有点绕，举个例子说明一下！
例子：
# f # e # v # e # f #
1 2 1 2 1 6 1 2 1 2 1
mx初始化为 -1，id也初始化为 -1。

遍历过程中，出现mx > i 时，如下图所示：

因为回文串是左右两边对称的，所以在求 p[i] 的时候我们就可以利用这一性质更快的求得结果。这里的 id 和 mx 都应该的已知的，也就是利用了前面已知的信息，实现优化！

精髓代码：

if (mx > i) p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);
else p[i] = 1;

简单来说就是 mx > i 时，以 i关于id的对称点 j 为中心位置的最长回文子串被包含在 mx 的对称点到 id 这个区间时，那么根据对称的性质，肯定 p[i] >=p[2*id-i] 的。如果超出了这个区间，那么我们只能明确直到区间内的，区间外的我们并不能明确知道，则 p[i] >= mx - i 的。然后就可以再用朴素的方法去向左右两边拓展。

while (s[i - p[i]] == s[i + p[i]]) {//朴素的匹配方法，向左右两边扩展 p[i]++;
}

当 mx <= i 时，我们已有的信息并不能帮到什么，直接 p[i] = 1 (因为单个字符本身就是回文) 然后就只能乖乖的使用朴素的匹配方法。

具体实现代码：

#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;string str;    //原字符串
string ans_str;//最长回文字符串string deal(string s) {//预处理     //abbbafhksksikiaaastring str = "$";//加上一个原有字符串中不存在的字符，防止越界for (int i = 0; i < s.length(); i++) {str += '#';str += s[i];}str += '#';str += '^';//加上一个原有字符串中不存在的字符，防止越界return str;
}
void Manacher(string str) {string s=deal(str);int* p = new int[s.length()];p[0] = 1;p[s.length() - 1] = 1;int max_pos = -1;//最长回文子串的中心位置int max_len = -1;//最长回文子串的长度int mx = 0;//已遍历所得到的回文子串能延伸到的最右端的位置，注意该索引下的字符并不包含在回文子串里int id=-1;//最右端能延伸到mx位置的回文子串的中心位置for (int i = 1; i < s.length()-1; i++) {if (mx > i) p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);//i在已有条件下所能延伸到的最右端的位置的左边，可由对称的性质求出else p[i] = 1;//i不在已有条件下所能延伸到的最右端的位置的左边，因为单个字符自身也是回文的，置为1，再使用朴素的匹配方法求出while (s[i - p[i]] == s[i + p[i]]) {//朴素的匹配方法，向左右两边扩展 p[i]++;}if (mx < i + p[i]) {//更新在已有条件下所能延伸到的最右端的位置和延伸到mx位置的回文子串的中心位置id = i;mx = i + p[i];}if (max_len < p[i]-1) {//更新最长回文子串的中心位置和最长回文子串的长度max_pos = i;max_len = p[i] - 1;}}ans_str = str.substr((max_pos - p[max_pos]) / 2, max_len);//最长回文子串
}
int main() {while (cin >> str) {Manacher(str);cout << "最长回文子串：" << ans_str << endl;}return 0;
}

PS：希望对你有帮助！

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