模糊数学20220610

模糊数学的思想和应用

基本思想：

模糊概念 -------> 精确数字
用精确的数学手段对现实世界中大量存在的模糊概念和模糊现象进行描述。
模糊数学不是“模模糊糊”的，是非常严密的。

基本概念：

假设模糊集为A，使得

A = { ( x , u A ( x ) ) ∣ x ∈ X } A = \left \{ (x,u_A(x))|x\in X \right \} A={(x,uA(x))∣x∈X}
其中，X称为A的定义域， u A ( x ) u_A(x) uA(x) 称为A的隶属函数，其函数值为隶属度。

隶属度为0.5是模糊集A的过渡点，是最具模糊的点；
隶属度为0表示x一定不是模糊集A的点；
隶属度为1表示x一定是模糊集A的点；

应用：

采用梯形模糊数来表示语言指标权重和语言多指标值，并采用一种折中型模糊多属性决策方法来进行综合评判。

1.梯形模糊数

如果隶属函数 u q ( X ) : R → [ 0 , 1 ] u_q(X):R \rightarrow [0,1] uq(X):R→[0,1],满足
u q ( X ) = { X − a b − a , if x ∈ [ a , b ) 1 , if x ∈ [ b , c ) d − X d − c , if x ∈ [ c , s ] 0 , 其他 u_q(X) = \begin{cases} & \frac{X-a}{b-a}, \text{ if } x\in[a,b)\\ & 1,\text{ if } x\in[b,c)\\ & \frac{d-X}{d-c}, \text{ if } x\in[c,s] \\ & 0,\text{ } 其他 \end{cases} uq(X)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧b−aX−a, if x∈[a,b)1, if x∈[b,c)d−cd−X, if x∈[c,s]0, 其他

式中： X , a , b , c , d ∈ R , a ≤ b ≤ c ≤ d X,a,b,c,d\in R,a\le b \le c \le d X,a,b,c,d∈R,a≤b≤c≤d,则称q为标准梯形模糊数，记作 q = (a,b,c,d)。区间[a,d]和[c,d]为q的上下边界。
假设标准梯形模糊数 A 1 = ( a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) 和 A 2 = ( a 2 , b 2 , c 2 , d 2 ) A_1=(a_1,b_1,c_1,d_1) 和A_2=(a_2,b_2,c_2,d_2) A1=(a1,b1,c1,d1)和A2=(a2,b2,c2,d2)，规定运算法则：

2.表示权重和指标

在评估活动中，语言变量值通常为自然语言。
例如：
关于权重的语言变量词汇 W={低（L），中（M），高（H），很高（VH）}
关于指标的语言变量词汇L={差（B），中（M），较好（NG），好（G）}
这些语言变量更适合用模糊数来表示。因此，无论是权重，还是指标，用标准梯形模糊数来表达专家给出的评价，正好可以反映专家评估语言中的模糊性。
例如，用语言变量来表示权重时，可取其隶属函数为：

λ w ( L ) = ( 0 , 0.1 , 0.3 , 0.5 ) ; λ w ( M ) = ( 0.1 , 0.3 , 0.5 , 0.7 ) ; λ w ( H ) = ( 0.3 , 0.5 , 0.7 , 0.9 ) ; λ w ( V H ) = 0.5 , 0.7 , 0.9 , 1.0 \lambda_w(L)=(0,0.1,0.3,0.5);\lambda_w(M)=(0.1,0.3,0.5,0.7);\lambda_w(H)=(0.3,0.5,0.7,0.9);\lambda_w(VH)={0.5,0.7,0.9,1.0} λw(L)=(0,0.1,0.3,0.5);λw(M)=(0.1,0.3,0.5,0.7);λw(H)=(0.3,0.5,0.7,0.9);λw(VH)=0.5,0.7,0.9,1.0

用语言变量来表示指标值时，可取其隶属函数为：

μ a ( B ) = ( 0 , 1 , 3 , 5 ) ; μ a ( M ) = ( 1 , 3 , 5 , 7 ) ; μ a ( N G ) = ( 3 , 5 , 7 , 9 ) ; μ a ( G ) = 5 , 7 , 9 , 0 \mu_a(B)=(0,1,3,5);\mu_a(M)=(1,3,5,7);\mu_a(NG)=(3,5,7,9);\mu_a(G)={5,7,9,0} μa(B)=(0,1,3,5);μa(M)=(1,3,5,7);μa(NG)=(3,5,7,9);μa(G)=5,7,9,0

3.折中型模糊多属性决策方法

折中型模糊多属性评估方法分为三种：
1.模糊理想解
2.模糊负理想解
3.二者联合
其中，模糊理想解由每个属性中模糊指标值的极大集构成，而模糊负理想解则由每个属性中模糊指标值的极小集构成；
采用二者联合，利用欧式距离来度量决策方案与模糊理想解和模糊负理想解之间的差距。目的在于靠近模糊理想解，远离模糊负理想解。

4.计算步骤

1.将评估者的语言评估转化成为标准梯形模糊数，然后采用简单加权法集成评估专家的群体偏好；
从而得到指标模糊梯形数决策矩阵A和指标权重w
2.对评估矩阵A进行规范化处理，为了消除量纲对评估结果的影响。
3.求加权规范化决策矩阵
4.确定模糊理想解 M ＋ M_＋ M＋和模糊负理想解 M − M_- M−
5.确定方案 X i X_i Xi与糊理想解 M ＋ M_＋ M＋和模糊负理想解 M − M_- M−之间的差异
6.确定方案 Xi 模糊负理想解 M − M_- M−之间的相对贴近度 D i D_i Di
7. 按照 D 值从大到小的顺序‚排列方案的优劣次序。

创新点：

针对1-5评分，把1（低），2（较低），3（中），4（较好），5（好）构建隶属函数，利用上述算法步骤进行预测！