模糊数学笔记：一、模糊集及其运算性质

1965年，美国加利福尼亚大学控制论专家扎德(L. A. Zadeh)教授在《信息与控制》杂志上发表了一篇开创性论文《模糊集合》,这标志着模糊数学的诞生.扎德是世界公认的系统埋论及其应用领域最有贡献的人之一，被誉为“糊集之父“,

在人类社会和各个科学领域中,人们所遇到的各种量大体上可以分成两大类：确定性的与不确定性的,而不确定性又可分为随机性和模糊性.人们正是用三种数学来分别研究客观世界中不同的量,即：

第一类是确定性数学模型.这类模型研究的对象具有确定性,对象之间具有必然的关系,最典型的就是用微分法、微分方程、差分方程所建立的数学模型.
第二类是随机性数学模型.这类模型研兖的对象具有随机性,对象之间具有偶然的关系，如用概率分布方法、马尔可夫(Markov)链所建立的数学模型.
第三类是模糊性数学模型.这类模型所研究的对象与对象之间的关系具有模糊性.

1、从特征函数定义模糊集

经典集合的特征函数：
χA:U→{0,1}x↦χA(x)={1,x∈A0,x∉A\begin{aligned} \chi_{A}: & U \rightarrow\{0,1\} \\ x & \mapsto \chi_{A}(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & x \in A \\ 0, & x \notin A \end{array}\right. \end{aligned} χA:xU→{0,1}↦χA(x)={1,0,x∈Ax∈/A
模糊集合的特征函数
μA:U→[0,1]x⊢μA(x)∈[0,1]\begin{aligned} \mu_{A}: & U \rightarrow[0,1] \\ & x \vdash \mu_{A}(x) \in[0,1] \end{aligned} μA:U→[0,1]x⊢μA(x)∈[0,1]

例: 设论域U= [0,200](单位:岁)表示人的年龄,“年轻”(Y)与“年老”(Q)两个模糊集,其隶属函数(图1.5)分别为

Y(x)={1,[1+(x−255)2]−1,0,0⩽x⩽2525<x⩽200Q(x)={[1+(x−505)−2]−1,50<x⩽200\begin{array}{l} \qquad \begin{aligned} Y(x)=\left\{\begin{array}{c} 1, \\ {\left[1+\left(\frac{x-25}{5}\right)^{2}\right]^{-1},} \\ 0, \end{array}\right.& \begin{array}{l} 0 \leqslant x \leqslant 25 \\ 25<x \leqslant 200 \end{array} \\ Q(x)=\left\{\left[1+\left(\frac{x-50}{5}\right)^{-2}\right]^{-1},\right.& 50<x \leqslant 200 \end{aligned} \end{array} Y(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1,[1+(5x−25)2]−1,0,Q(x)=⎩⎨⎧[1+(5x−50)−2]−1,0⩽x⩽2525<x⩽20050<x⩽200

2、模糊集合的表示方法

扎德表示法：

A=A(x1)x1+A(x2)x2+⋯+A(xn)xnA=\frac{A\left(x_{1}\right)}{x_{1}}+\frac{A\left(x_{2}\right)}{x_{2}}+\cdots+\frac{A\left(x_{n}\right)}{x_{n}} A=x1A(x1)+x2A(x2)+⋯+xnA(xn)

这里“A(xi)/xiA(x_i)/x_iA(xi)/xi”不是分数，“十”也不表示求和，只有符母意义，它表示点 xix_{i}xi 对模糊集 AAA 的隶属度是A(xi).A \left(x_{i}\right) .A(xi).

序偶表示法：

A={(x1,A2),(x2,A(x2)),⋯,(xn,A(xn)}A=\left\{\left(x_{1}, A_{2}\right),\left(x_{2}, A\left(x_{2}\right)\right), \cdots,\left(x_{n}, A\left(x_{n}\right)\right\}\right. A={(x1,A2),(x2,A(x2)),⋯,(xn,A(xn)}

向量表示法：

A=(A(x1),A(x2),⋯,A(xn))A=\left(A\left(x_{1}\right), A\left(x_{2}\right), \cdots, A\left(x_{n}\right)\right) A=(A(x1),A(x2),⋯,A(xn))

一般地,若0⩽ai⩽1,i=1,2,⋯,n,0\leqslant a_{i} \leqslant 1, i=1,2, \cdots, n,0⩽ai⩽1,i=1,2,⋯,n, 则称 a=(a1,a2,⋯,an)a=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)a=(a1,a2,⋯,an) 为模糊向量. 由此可知,模糊向置 a=(a1,a2,⋯,an)a=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)a=(a1,a2,⋯,an) 可以表示论域 U={x1,x2,⋯,xn}U=\left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right\}U={x1,x2,⋯,xn} 上的模糊集 AAA

例： A=′高个子′A='高个子'A=′高个子′可表示为以下两种形式

A=0x1+0.1x2+0.4x3+0.5x4+0.8x5+1x6A=\frac{0}{x_{1}}+\frac{0.1}{x_{2}}+\frac{0.4}{x_{3}}+\frac{0.5}{x_{4}}+\frac{0.8}{x_{5}}+\frac{1}{x_{6}} A=x10+x20.1+x30.4+x40.5+x50.8+x61

或：
A=(0,0.1,0.4,0.5,0.8,1)A=(0,0.1,0.4,0.5,0.8,1) A=(0,0.1,0.4,0.5,0.8,1)

无限集的表示法：

A=∫x∈UA(x)xA=\int_{x \in U} \frac{A(x)}{x} A=∫x∈UxA(x)

这里∫\int∫不是积分符号，A(x)/xA (x)/xA(x)/x也不是分数. 上例中的Y(年轻)，Q(年老)可分别表示为：

Y=∫x∈[0,25]1x+∫x∈(25,200][1+(x−255)2]−2xQ=∫0⩽1⩽500x+∫50⩽x⩽200[1+(x−505)−2−1]x\begin{array}{l} Y=\int_{x \in[0,25]} \frac{1}{x}+\int_{x \in(25, 200]} \frac{\left[1+\left(\frac{x-25}{5}\right)^{2}\right]^{-2}}{x} \\ Q=\int_{0 \leqslant 1 \leqslant 50} \frac{0}{x}+\int_{50 \leqslant x \leqslant 200} \frac{\left[1+\left(\frac{x-50}{5}\right)^{-2 -1}\right]}{x} \end{array} Y=∫x∈[0,25]x1+∫x∈(25,200]x[1+(5x−25)2]−2Q=∫0⩽1⩽50x0+∫50⩽x⩽200x[1+(5x−50)−2−1]

3、模糊集合的运算性质

基本运算定义
- 包含
A⊆B⇔A(x)⩽B(x),∀x∈UA \subseteq B \Leftrightarrow A(x) \leqslant B(x), \quad \forall x \in U A⊆B⇔A(x)⩽B(x),∀x∈U
- 相等

A=B⇔A(x)=B(x),∀x∈UA=B \Leftrightarrow A(x)=B(x), \quad \forall x \in U A=B⇔A(x)=B(x),∀x∈U

并：A∪B\quad A \cup BA∪B 的隶属函数 μ(x)\mu(x)μ(x) 为

(A∪B)(x)⟶def A‾(x)∨B(x),∀x∈U(A \cup B)(x) \stackrel{\text { def }}{\longrightarrow} \underline{A}(x) \vee B(x), \forall x \in U (A∪B)(x)⟶ def A(x)∨B(x),∀x∈U

交 A∩BA \cap BA∩B的隶属函数 μ(x)\mu(x)μ(x) 为

(A∩B)(x)=def A(x)∧B‾(x),∀x∈U(A \cap B)(x) \stackrel{\text { def }}{=} A(x) \wedge \underline{B}(x), \forall x \in U (A∩B)(x)= def A(x)∧B(x),∀x∈U

余 ACA^{C}AC 的隶属函数 μ(x)\mu(x)μ(x) 为

Ac(x)=def 1−A(x),∀x∈U{A}^{c}(x) \stackrel{\text { def }}{=} 1-{A}(x), \forall x \in U Ac(x)= def 1−A(x),∀x∈U

４、并、交、余的运算性质

幂等律

A∪A=A,A∩A=A\quad A \cup A=A, \quad A \cap A=A A∪A=A,A∩A=A

交换律

A∪B=B∪A,A∩B=B∩AA \cup B=B \cup A ,\quad A \cap B=B \cap A A∪B=B∪A,A∩B=B∩A

结合律

(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C), \quad(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C)\\ (A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

吸收律

A∩(A∪B)=A,A∪(A∩B)=AA \cap(A \cup B)=A, \quad A \cup (A \cap B)=A A∩(A∪B)=A,A∪(A∩B)=A

分配律

(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A \cup B) \cap C=(A \cap C) \cup(B \cap C)\\ (A \cap B) \cup C=(A \cup C) \cap(B \cup C) (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)

0-1 律

A∪∅=A,A∩∅=∅,U∪A=U,U∩A=AA \cup \varnothing=A, \quad A \cap \varnothing=\varnothing, \quad U \cup A=U, \quad U \cap A=A A∪∅=A,A∩∅=∅,U∪A=U,U∩A=A

还原律

(Ac)c=A(A^{c})^c=A (Ac)c=A

对偶律

(A∪B)C=AC∩Bc,(A∩B)C=AC∪BC(A \cup B)^{C}=A^{C} \cap B^{c}, \quad(A \cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C} (A∪B)C=AC∩Bc,(A∩B)C=AC∪BC

5、环和+^\hat{+}+^ 与乘积⋅\cdot⋅

环和

(A+^B)(x)=def A(x)+B(x)−A(x)⋅B(x),∀x∈U(A \hat{+} B)(x) \stackrel{\text { def }}{=} A(x)+{B}(x)-{A}(x) \cdot {B}(x), \quad \forall x \in U (A+^B)(x)= def A(x)+B(x)−A(x)⋅B(x),∀x∈U

乘积

(A⋅B)(x)=def A(x)⋅B(x),∀x∈U(A \cdot B)(x) \stackrel{\text { def }}{=} A(x) \cdot {B}(x), \quad \forall x \in U (A⋅B)(x)= def A(x)⋅B(x),∀x∈U

运算性质
- 交换律：A+^B=B+^A,A⋅B=B⋅AA \hat{+} {B}={B} \hat{+} {A}, \quad {A} \cdot {B}={B} \cdot {A}A+^B=B+^A,A⋅B=B⋅A
- 结合律：(A+^B)+^C=A+^(B+^C),(A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)(A \hat{+} {B}) \hat{+} {C}=A \hat{+}({B} \hat{+} {C}), \quad(A \cdot {B}) \cdot {C}={A} \cdot({B} \cdot C)(A+^B)+^C=A+^(B+^C),(A⋅B)⋅C=A⋅(B⋅C)
- 0-1律：A+^U=U,A⋅U=A,A+^∅=A,A⋅∅=∅A\hat{+} U=U, A \cdot U=A, \quad A \hat{+} \varnothing=A, \quad A \cdot \varnothing=\varnothingA+^U=U,A⋅U=A,A+^∅=A,A⋅∅=∅
- 对偶律：(A+^B)C=AC⋅BC,(A⋅B)C=AC+^BC(A \hat{+} B)^{C}=A^{C} \cdot B^{C}, \quad(A \cdot B)^{C}=A^{C} \hat{+} B^{C}(A+^B)C=AC⋅BC,(A⋅B)C=AC+^BC

注：环和、乘积运算不满足分配律、吸收律、幂等律和排中律。

6、其它算子

取大算子

a∨b= def (a,b),a⋅b=aba \vee b \stackrel{\text { def }}{\text { = }}(a, b), \quad a \cdot b=a b a∨b = def (a,b),a⋅b=ab

有界和、取小算子

a⊕b=def min⁡(1,a+b),a∧b=def min⁡(a,b)a \oplus b \stackrel{\text { def }}{=} \min (1, a+b), \quad a \wedge b\stackrel{\text {def }}{=} \min (a, b) a⊕b= def min(1,a+b),a∧b=def min(a,b)

爱因斯坦算子

aε+b=def a+b1+ab,aε˙b=def ab1+(1−a)(1−b)a \stackrel{+}{\varepsilon} b\stackrel{\text { def }}{=} \frac{a+b}{1+a b}, \quad a \dot{\varepsilon} b \stackrel{\text { def }}{=}\frac{ab}{1+(1-a)(1-b)} aε+b= def 1+aba+b,aε˙b= def 1+(1−a)(1−b)ab

哈梅彻算子

ar+b=def a+^b−(1−r)abr+(1‾−r)(1−ab)ar⋅b=abr+(1−r)(a+^b)}r∈(0,+∞)\left.\begin{array}{l} a \overset{+}{r} b \stackrel{\text { def }}{=} \frac{a \hat{+} b-(1-r) a b}{r+(\overline{1}-r)(1-a b)} \\ a \overset{\cdot}{r} b= \frac{ab}{r+(1-r)(a \hat{+} b)} \end{array}\right\} r \in(0,+\infty) ar+b= def r+(1−r)(1−ab)a+^b−(1−r)abar⋅b=r+(1−r)(a+^b)ab⎭⎬⎫r∈(0,+∞)

雅格尔子

aYb=def min⁡{1,(a∗+bv)1/v},aλb=def 1−min⁡{1,[(1−a)v+(1−b)v]1/v},}v∈[1,+∞)\left.\begin{array}{l} a Y b \stackrel{\text { def }}{=} \min \left\{1,\left(a^{*}+b^{v}\right)^{1 / v}\right\}, \\ a \lambda b \stackrel{\text { def }}{=} 1-\min \left\{1,\left[(1-a)^{v}+(1-b)^{v}\right]^{1 / v}\right\}, \end{array}\right\} v \in[1,+\infty) aYb= def min{1,(a∗+bv)1/v},aλb= def 1−min{1,[(1−a)v+(1−b)v]1/v},⎭⎬⎫v∈[1,+∞)