最大公约数gcd(m,n)=gcd(n,m%n)之证明

令 gcd(m,n)=x 即是m，n的最大公约数为x

令 m%n=a 则 m=kn+a ， kn+a 与 n的最大公约数为x

则有 kn/x + a/x 为整数 , n/x为整数那么必有 a/x为整数

则 x 也为 a 和 n的约数

下面证明最大

假设存在一个数 y 为 a和n的最大公约数 gcd(n,m%n)=gcd(n,a)=y>x

那么 a/y ， n/y都为整数，则 ( kn+a )/y 也为整数，即是 m/y 为整数，而y>x，那么m,n的最大公约数就为y

则与 m，n的最大公约数为x 矛盾

故 gcd(m,n)=gcd(n,m%n)

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