GCD，快速GCD，扩展GCD

/*==================================================*\
| GCD 最大公约数
\*==================================================*/
int gcd(int x, int y)
{ if (!x || !y) return x > y ? x : y; for (int t; t = x % y; x = y, y = t); return y;
}
/*==================================================*\
| 快速 GCD
\*==================================================*/
int kgcd(int a, int b)
{ if (a == 0) return b; if (b == 0) return a; if (!(a & 1) && !(b & 1)) return kgcd(a>>1, b>>1)<<1;else if (!(b & 1))return kgcd(a, b>>1); else if (!(a & 1)) return kgcd(a>>1, b); else return kgcd(abs(a - b), min(a, b));
}
/*==================================================*\
| 扩展 GCD
| 求x, y使得gcd(a, b) = a * x + b * y;
\*==================================================*/
int extgcd(int a, int b, int & x, int & y)
{ if (b == 0) { x=1; y=0; return a; } int d = extgcd(b, a % b, x, y); int t = x; x = y; y = t - a / b * y; return d;
}

欧几里得算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

扩展欧几里德算法

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p，q使得p * a+q * b = Gcd(a, b) (解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使用C++的实现：

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if(b == 0){x = 1;y = 0;return a;}int r = exGcd(b, a % b, x, y);int t = x;x = y;y = t – a / b * y;return r;
}

把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。
可以这样思考:
对于a’ = b, b’ = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a’x + b’y = Gcd(a’, b’)
由于b’ = a % b = a – a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)
那么可以得到:
a’x + b’y = Gcd(a’, b’) ==>
bx + (a – a / b * b)y = Gcd(a’, b’) = Gcd(a, b) ==>
ay +b(x – a / b*y) = Gcd(a, b)
因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y)
补充：关于使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法
对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：
p = p0 + b/Gcd(p, q) * t
q = q0 – a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)

至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可

#include <iostream>
using namespace std;
//int gcd(int a, int b); //两个数的最大公约数
//int ngcd(int *pa, int n) //N个数的最大公约数
//int lcm(int a, int b) //两个数的最小公倍数
//int nlcm(int *pa, int n) //N个数的最小公倍数   int gcd (int a,int b)
{   if (b==0)   return a;   return gcd(b,a%b);
}   int ngcd(int *pa, int n)
{   if(n == 1)   return *pa;   return (gcd(pa[n-1], ngcd(pa, n-1)));
}   int lcm(int a, int b) //最小公倍数 ＝ 两数乘积 / 最大公约数
{   return a*b/gcd(a, b);
}   int nlcm(int *pa, int n)
{   if(n == 1)   return *pa;   return lcm(pa[n-1], nlcm(pa, n-1));
}   int main()
{   int a,b,n,rgcd,rlcm,rngcd,rnlcm;   int pa[10];   printf("please input tow number:");   scanf("%d %d",&a,&b);   rgcd=gcd(a,b);   rlcm=lcm(a,b);   printf("最大公约数是：%d\n",rgcd);   printf("最小公倍数是：%d\n",rlcm);   printf("please input the n:");   scanf("%d",&n);   for (int i=0;i<n;i++)   scanf("%d",&pa[i]);   rngcd=ngcd(pa,n);   rnlcm=nlcm(pa,n);   printf("最大公约数是：%d\n",rngcd);   printf("最小公倍数是：%d\n",rnlcm);   return 0;
}

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