应用ＭＡＴＬＡＢ函数绘制二次曲面图①

袁玲

(株洲职业技术学院湖南株洲

４１２００１)

摘要：二次曲面方程是高等数学中重要的章节内容，其图像是主要研究对象，徒手画图有一定的难度，用ｍａｔｌａｂ函数辅助绘图是最理想的工具，这篇文章用实例来介绍了６种ｍａｔｌａｂ函数绘二次曲面图的方法，并进行了比较。关键词：ＭＡＴＬＡＢ作图二次曲面中图分类号：ＴＧ１４６文献标识码：Ａ文章编号：１６７３－０５３４(２００７)０７(ａ)－００９０－０２

１引言

现代工程上的许多问题都涉及到数学函数，数学函数在人们的日常生活中也是相当重要的，函数的具体表达形式是方程式，无论在《空间解析几何》中，还是《微积分》中，我们都曾经学过和用过，而二次曲面方程是数学中相当重要的方程，其图像是三维空间图像，是我们的主要研究对象，教学上老师们要经常画出它们的图像进行直观教学，画图是一个比较辣手的问题。针对画图问题，作者下面介绍了几种用ＭＡＴＬＡＢ函数辅助绘曲面图的方法。＞＞ｓｕｂｐｌｏｔ(２３３)；ｓｕｒｆ(X，Y，Z３)；ｈｏｌｄ　ｏｎ；ｓｕｒｆ(X，Y，Z４)；ｔｉｔｌｅ(‘ｓｕｒｆ函数作的双曲面’)；

＞＞ｓｕｂｐｌｏｔ(２３４)；ｍｅｓｈ(X，Y，Z３)；ｈｏｌｄｏｎ；ｍｅｓｈ(X，Y，Z４)；ｔｉｔｌｅ(‘ｍｅｓｈ函数作的双曲面’)；

＞＞Z５＝X．＊X＋４．＊Y．＊Y／９；

＞＞ｓｕｂｐｌｏｔ(２３５)；ｓｕｒｆ(X，Y，Z５)；ｔｉｔｌｅ

(

‘

ｓｕｒｆ

函数作的抛物面’

)；

＞＞ｓｕｂｐｌｏｔ(２３６)；ｍｅｓｈ(

X

，

Y，Z５)；ｔｉｔｌｅ(‘ｍｅｓｈ函数作的抛物面’)；

结果见图１。

曲面’)；

＞＞Ｚ５＝Ｘ．＊Ｘ＋４．＊Ｙ．＊Ｙ／９；

＞＞ｓｕｂｐｌｏｔ(２３５)；ｐｌｏｔ３(X，Y，

Z５)；ｇｒｉｄ　ｏｎ；ｔｉｔｌｅ(‘

ｐｌｏｔ３函数作的抛物面’)；

＞＞ｓｕｂｐｌｏｔ(２３６)；ｃｏｎｔｏｕｒ３　(X

，Y，Z

５)；ｇｒｉｄ　ｏｎ；ｔｉｔｌｅ(‘ｃｏｎｔｏｕｒ３函数作的抛物面’)；

结果见图２。

２用ＭＡＴＬＡＢ函数绘二次曲面图

绘制三维图形前，一般先用meshgrid函数在平面(通常在ＸＯＹ平面上)的一个矩形区间内打网格，标记网格点，再直接用相关函数完成作图［１－２］，从下面的多种作图方法中可以看出ｍｅｓｈｇｒｉｄ函数的重要性。２．１用ｓｕｒｆ或ｍｅｓｈ函数绘图

ｓｕｒｆ函数绘制的是三维表面图，ｍｅｓｈ函数绘制的是三维网格图［１］，当二次曲面方程是标准方程时，原方程式可化为z=( f,y)或y=f(x,z)或x=f( y,z)时，我们就用这两种函数完成绘图。

例１

图１

２．２用ｐｌｏｔ３或ｃｏｎｔｏｕｒ３函数绘图

ｐｌｏｔ３函数绘制的是三维直角坐标曲线图，ｃｏｎｔｏｕｒ３函数绘制的是三维等高线图［１］，对于例１我们可以通过这两种函数绘曲线来组成曲面图。

＞＞x＝－２：０．１：２；y＝－３：０．１：３；［X，Y］＝ｍｅｓｈｇｒｉｄ(x，y)；

＞＞Z１＝４．＊ｓｑｒｔ(１－X．＊X．／４－Y．＊Y／９)；Z２＝－４．＊ｓｑｒｔ(１－X．＊X．／４－Y．＊Y／９)；

＞＞ｓｕｂｐｌｏｔ(２３１)；ｐｌｏｔ３(X，Y，Z１)；ｈｏｌｄｏｎ；ｐｌｏｔ３(X，Y，Z２)

＞＞ｇｒｉｄ　ｏｎ；ｔｉｔｌｅ(‘ｐｌｏｔ３函数作的椭球面’)；

＞＞ｓｕｂｐｌｏｔ(２３２)；　ｃｏｎｔｏｕｒ３　(X，Y，Z１)；ｈｏｌｄ　ｏｎ；　ｃｏｎｔｏｕｒ３　(X，Y，Z２)

＞＞ｇｒｉｄ　ｏｎ；ｔｉｔｌｅ(‘ｃｏｎｔｏｕｒ３函数作的椭球面’)；

＞＞Z３＝４．＊ｓｑｒｔ(X．＊X．／４＋Y．＊Y／９－１)；Z４＝－４．＊ｓｑｒｔ(X．＊X．／４＋Y．＊Y／９－１)；

＞＞ｓｕｂｐｌｏｔ(２３３)；　ｐｌｏｔ３　(X，Y，Z３)；ｈｏｌｄｏｎ；　ｐｌｏｔ３　(X，Y，Z４)

＞＞ｇｒｉｄ　ｏｎ；ｔｉｔｌｅ(‘ｐｌｏｔ３函数作的双曲面’)；

＞＞ｓｕｂｐｌｏｔ(２３４)；ｃｏｎｔｏｕｒ３　(X，Y，Z３)；ｈｏｌｄ　ｏｎ；ｃｏｎｔｏｕｒ３　(X，Y，Z４)

＞＞ｇｒｉｄ　ｏｎ；ｔｉｔｌｅ(‘ｃｏｎｔｏｕｒ３函数作的双

x2y2z2

???1分别绘曲面4916

、

x2y2z2x2y2z

???1和??在区域－２

4944916≤x≤２，－３≤y≤３，－４≤z≤４内的图像。

以上三个方程可化为z??4?z??4

x2y2

??149

x2y2

?49

图２

２．３用ｅｚｓｕｒｆ或ｅｚｍｅｓｈ函数绘图

ｅｚｓｕｒｆ函数和ｅｚｍｅｓｈ函数主要针对参数方程的三维作图函数，它们是专业作图函数［３－４］，ｅｚｓｕｒｆ函数绘制的是三维表面图，ｅｚｍｅｓｈ函数绘制的是三维网格图，当二次曲面方程可化为参数方程时，就可以用这两种函数完成绘图。下面将例１中的方程化为参数方程，再用ｅｚｓｕｒｆ函数和ｅｚｍｅｓｈ函数绘曲面图。

x2y2z2

???1化为参数方椭球方程4916?x?2cos?cos?

?

y?3sin?cos?程?，其中(０≤α≤２＊ｐｉ，－?z?4sin??

、

z?x2?］、

4y2

，再用ｍａｔｌａｂ命令画图：9

ｐｉ／２≤β≤ｐｉ／２)；双曲方程

x2y2z2

???14916

＞＞x＝－２：０．１：２；y＝－３：０．１：３；［X，Y］

＝ｍｅｓｈｇｒｉｄ(x，y)；

＞＞z１＝４．＊ｓｑｒｔ(１－X．＊X．／４－Y．＊Y／９)；z２＝－４．＊ｓｑｒｔ(１－X．＊X．／４－Y．＊Y／９)；

＞＞ｓｕｂｐｌｏｔ(２３１)；ｓｕｒｆ(X，Y，Z１)；ｈｏｌｄ　ｏｎ；ｓｕｒｆ(X，Y，Z２)；ｔｉｔｌｅ(‘ｓｕｒｆ函数作的椭球面’)；

＞＞ｓｕｂｐｌｏｔ(２３２)；ｍｅｓｈ(X，Y，Z１)；ｈｏｌｄ　ｏｎ；ｍｅｓｈ(X，Y，Z２)；ｔｉｔｌｅ(‘ｍｅｓｈ函数作的椭球面’)；

＞＞Z３＝４．＊ｓｑｒｔ(X．＊X．／４＋Y．＊Y／９－１)；Z４＝－４．＊ｓｑｒｔ(X．＊X．／４＋Y．＊Y／９－１)；

?x?2tcos??

y?3tsin?

化为参数方程?，其中(０≤α

?z??4t2?1?

≤２＊ｐｉ，t≥１或ｔ≤－１)；抛物面方程?x?2tcos??xyz

??化为参数方程?y?3tsin?，其

?z?4t2494

?

2

2

中(０≤α≤２＊ｐｉ，－∞＜t＜＋∞)。再按例１的要求绘曲面图：

①２００７年株洲职业技术学院院级立项课题：编号ＺＺＹＫＹ０７０８，名称《应用ＭＡＴＬＡＢ辅助理工专业课程教学的研究》；２００６年株洲职业技术学院院级课题资助项目：编号ＺＺＹＫＹ０６０３，名称《高职院校高等数学精品课程开发与建设研究》。

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