MATLAB编程（4）——MATLAB绘制二维高斯函数的三维图

本篇博文记录使用MATLAB绘制二维高斯函数的三维图。

用到的MATLAB函数——mesh()（绘制三维线框图）和surf()（绘制三维表面图）。

MATLAB命令窗口输入>> doc 函数名，可以查看相关函数的帮助文档。

一维高斯函数：

$f \left ( x \right ) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{\left ( x-\mu \right )^{2}}{2\sigma ^{2}}}$ （μ为均值，σ为标准差）

二维高斯函数：

$g\left ( x,y \right ) = \frac{1}{2\pi \sigma^{2} }e^{-\frac{\left ( x^{2}+y^{2} \right )}{2\sigma ^{2}}}$ （这里，均值均为零，标准差均为σ）

下面给出代码（两种实现结果），绘制一个均值为25，标准差为5的二维高斯函数的三维图：

代码实现一：

% 先限定三维图中的x,y轴坐标范围
X = 0 : 1 : 50;
Y = 0 : 1 : 50;% 标准差
sigma = 5;Z = zeros( 51, 51 );
for row = 1 : 1 : 51for col = 1 : 1 : 51Z( row, col ) = ( X(row) - 25 ).^2 + ( Y(col) - 25 ).^2; % 均值(25, 25)end
end
Z = -Z / ( 2 * sigma^2 );Z = exp(Z) / ( 2 * pi * sigma^2 );% 显示高斯函数的三维曲面
figure, surf(X, Y, Z);

结果图：

代码实现二：（更推荐）

% 先限定三维图中的 x,y 轴坐标范围
X = 0 : 1 : 50;
Y = 0 : 1 : 50;% 标准差
sigma = 5;[ XX, YY ] = meshgrid( X, Y );
Z = ( XX - 25 ).^2 + ( YY - 25 ).^2;Z = -Z / ( 2 * sigma^2 );
Z = exp(Z) / ( 2 * pi * sigma^2 );% 显示高斯函数的三维图
figure, mesh(X, Y, Z); % 线框图

结果图：

以上两种代码实现中，差别在于Z的计算。代码实现一中，使用了双层for循环，时间会比代码二长。而代码实现二中，利用向量化运算取代for循环（即向量化循环），代码的效率会更高，更值得推荐。（这也是MATLAB编程上的一个技巧）。

并且，使用meshgrid，不会受到坐标（索引）为零的影响。例如：

% 先限定三维图中的 x,y 轴坐标范围
X = -25 : 1 : 25;
Y = -25 : 1 : 25;% 标准差
sigma = 5;[ XX, YY ] = meshgrid( X, Y );
Z = ( XX ).^2 + ( YY ).^2; % 均值为（0,0）Z = -Z / ( 2 * sigma^2 );
Z = exp(Z) / ( 2 * pi * sigma^2 );% 显示高斯函数的三维图
figure, mesh(X, Y, Z); % 线框图

结果图：

以上三维图中，MATLAB默认绘制彩色图。

colormap( [0 0 0] ); % 或者 colormap( gray ) —— 可以将以上彩色三维图转换为灰色。

另外，还可控制三维图中的网格显示和坐标轴显示。

grid off; % 关闭网格 （grid on —— 开启网格）axis off; % 关闭坐标轴显示 （axis on —— 开启坐标轴显示）

以上内容可用于二维滤波器的三维可视化。相关内容在书籍《数字图像处理（MATLAB版）》“4.5 在频域中直接生成滤波器”章节也有讲述。

下面的这段文字是对上述向量化循环的扩展，文字引自《数字图像处理（MATLAB版）》/（美）冈萨雷斯等著；阮秋琦等译.北京：电子工业出版社，2005,9.

MATLAB使用函数meshgrid来实现二维函数的评估，该函数的语法为：

[ C, R ] = meshgrid( c, r );

该函数将由行向量c和r指定的域变换为数组C和R，这两个数组能用来评估有两个变量的函数和三维表面图（注意，在meshgrid的输入输出中，列总是首先列出）。

输出数组C的行是向量c的副本，输出数组R的列是向量r的副本。

例如，假设我们想形成一个二维函数，该函数的元素是坐标变量x和y的值的平方和，其中，x=0,1,2 y=0,1。向量r由坐标的行分量构成：r=[0,1,2]；类似地，向量c由坐标的列分量构成：c=[0,1]，这里r和c均为行向量。

将这两个向量代入meshgrid，可得如下数组：

>>[ C, R ] = meshgrid( c, r )

C =

0 1

0 1

0 1

R =

0 0

1 1

2 2

>>h = R .^2 +C .^2

h =

0 1

1 2

4 5

h的维度为length(r) * length(c)

参考：

[1] Matlab绘制三维曲面（以二维高斯函数为例）（https://www.cnblogs.com/pzxbc/archive/2012/02/14/2351708.html）

在进行以上内容的学习时，也检索到下面的写得不错的博客：

（1）高斯函数以及在图像处理中的应用总结（https://www.cnblogs.com/herenzhiming/articles/5276106.html）

（2）高斯函数的详细分析（https://blog.csdn.net/jorg_zhao/article/details/52687448）

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