【Codeforces 785D】范德蒙恒等式

1.题目链接。题目大意：一个由括号构成的序列，让你找到这个序列中有多少个好的子序列。一个好的子序列的定义是这样的：

2.分析：这个题是一个组合数学问题。对于每一个'(',我们统计它的左边有多少个和它相同的，右边有多少个和它相对的。也就是在这个左括号的左边选出i个左括号，右边选出i+1个右括号。（为什么是i+1,因为当前的括号是左括号，加上左边i个，所以右边需要有i+1个与之匹配）所以我们枚举这个i，就可以知道当前这个位置对答案的贡献。那么当前这个位置对答案的贡献就是：

$\sum_{i=0}^{min(l,r-1)}C(i,l)*C(i+1,r)$

根据组合数的性质：C（n,i)=C(n,n-i).我们可以把后边的式子改写成:

$\sum_{i=0}^{r-1}C(l,i)C(r,r-i-1)$

这个式子是可以用范德蒙恒等式化简的：

范德蒙恒等式： $\sum_{i=0}^{k}C(n,i)C(m,k-i)=C(m+n,k)$

这个式子的证明很简单，考虑一个多项式：

$(1+x)^{m+n}$

其中x的k次幂：就是右边的式子，如果我们把这个多项式拆解成：

$(1+x)^{m+n}=(1+x)^{m}*(1+x)^{n}$

那么对于右边的式子：我们再考录x的k次方，即可得到范德蒙恒等式。

那么对于我们的上边的式子可以做出一下化简：

$\sum_{i=0}^{r-1}C(l,i)*C(r,r-i-1)=C(l+r,r-1)$

这样对于每一个点，我们在预处理之后，就可以O(1)的计算这个点对答案的贡献。代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn = 200010;
const int mod = 1e9 + 7;
char s[maxn];
int l[maxn], r[maxn];
#pragma warning(disable:4996)
ll qpow(ll a, ll b, ll mod)
{ll res = 1;while (b){if (b & 1)res = res * a%mod;a = a * a%mod;b >>= 1;}return res;
}
ll fac[maxn] = { 1,1 }, inv[maxn] = { 1,1 }, f[maxn] = { 1,1 };
ll c(ll a, ll b)
{return fac[b] * inv[a] % mod*inv[b - a] % mod;
}
void init()
{for (int i = 2; i < maxn; i++) {fac[i] = fac[i - 1] * i%mod;f[i] = (mod - mod / i)*f[mod%i] % mod;inv[i] = inv[i - 1] * f[i] % mod;}
}
int main()
{scanf("%s", s);int len = strlen(s);l[0] = (s[0] == '(');r[len - 1] = (s[len - 1] == ')');for (int i = 1; i < len; i++)l[i] = l[i - 1] + (s[i] == '(');for (int i = len - 2; i >= 0; i--)r[i] = r[i + 1] + (s[i] == ')');init();ll ans = 0;for (int i = 0; i < len; i++){if (s[i] == '('){ans = (ans + c(r[i] - 1, l[i] + r[i] - 1));ans %= mod;}}printf("%lld\n", ans);
}

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