2^n+1的因数分解问题

我们只讨论正整数集合的问题，N=2ⁿ +1

首先，关于N=2ⁿ +1（n=2^a， a ∈正整数)，事实上它就是费马数序列，
F0 2¹+1 =2 ,
F1 2² +1 =5 ,
F2 2⁴+1 =17,
F3 2⁸+1 = 257
F4 2¹⁶+1 =65537
F5 2³²+1 =4294967297
法国数学家费马于1640年提出了以下猜想 [1] ：

可以发现前5个是质数，因为第6个数实在太大了，费马认为这个数是质数。由此提出（费马没给出证明），形如的数都是质数的猜想。后来人们就把形如 N=2ⁿ+1（n=2^a， a ∈正整数)的数叫费马数。
1732年，欧拉算出F5=641×6700417，也就是说F5不是质数，宣布了费马的这个猜想不成立，它不能作为一个求质数的公式。以后，人们又陆续找到了不少反例，如n=6 时，F6= =274177×67280421310721不是质数。至今这样的反例共找到了243个，却还没有找到第6个正面的例子，也就是说只有n=0，1，2，3，4这5个情况下，Fn才是质数。F6 以后费马数的分解情况请自行百度。

早已经有人证明，费马数的因数必然是2n+2*k+1 形。例如n=5时，4294967297=（27×5+1）×（27×52347+1）。

这里，我们先讨论非费马数的规律，并寻找求其因子的方法。

1、当n=2i-1，（i∈正整数）

N=2ⁿ+1,其因子为：23+1=3.

2、当n=2*（2i-1），（i∈正整数）

N=2ⁿ+1,其因子为：22+1=5.

3、当n=4*（2i-1），（i∈正整数）

N=2ⁿ+1,其因子为：24+1=17.

4、当n=6*（2i-1），（i∈正整数）

N=2ⁿ+1,其因子为：26+1=33=3x11.

5、当n=7*（2i-1），（i∈正整数）

N=2ⁿ+1,其因子为：27+1=129=3x43.

6、当n=8*（2i-1），（i∈正整数）

N=2ⁿ+1,其因子为：28+1=257.

…………

从1-6实际上是一个整数与一个奇数的乘积，以上数字包含了所有除0及费马数以外的所有正整数。（证明略）

从上述推论中我们可以得出：对于任意形如：

N=2ⁿ+1,当n=k*（2i-1），（i∈正整数）

其因子为：2k+1，当然，若k也符合上述规律，任然可以继续沿用此规律。

例1：求N=2⁹⁹+1的因子有哪些？

首先 99=11*9， (注意，指数分解时，其第二项必须是奇数)

则其中一个因子必为：Y1=2¹¹+1,

反之，99=9*11，则其另一个因子必为：Y2=2⁹+1,

99=33*3，则其另一个因子必为：Y3=2³³+1,

因为，33=11*3，其因子为（2¹¹+1）

（2³³+1）=8589934593=3x2863311531=3x3x954437177=3x3x683x1397419

=3x3x683x67x20857

（2¹¹+1）=2049=3x683

（2⁹+1） =513 =3x171

所以，N=2⁹⁹+1因子为：3, 67, 171, 683, 20857.

例2：求N=2²³⁸+1的因子有哪些？

首先 238=2x7x17=2x119=14x17+34x7，

则其因子为：Y1=22+1=5,
Y2=214+1=16385=5x3277=5x29x113,
Y3=234+1=5x（217+1）x……

这里，我们又遇到一个问题：（2¹⁷+1），当n为质数时，如何进一步求解，首先质数为奇数，其因子必为3，2¹⁷+1=131073=3x43691，均为质数无法再分。

所以，N=²²³⁸+1因子为：3,5,29,113, 43691.

猜测：对于N=（2ⁿ+1），当n为质数时，其因子是否只是3和另外一个质因子。

n为2,3,5,7,11,13,17,19,23均只有3和另外一个质因子

但（2²⁹+1） = 536870913=3x59x3033169

n=29时，已经出现例外，猜测不成立。

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