1 简介

Otsu算法，即大津算法，最大类间方差算法，由日本人大津展之提出。大津二值化法用来自动对基于聚类的图像进行二值化，或者说，将一个灰度图像退化为二值图像。

算法假定该图像根据双模直方图（前景像素和背景像素）包含两类像素，于是它要计算能将两类分开的最佳阈值，使得它们的类内方差最小；由于两两平方距离恒定，所以即它们的类间方差最大。因此，大津二值化法粗略的来说就是一维Fisher判别分析的离散化模拟。(这段来自wikipedia)

2 算法原理

在大津算法中，我们穷举搜索能使类内方差最小的阈值，定义为两个类的方差的加权和：
σw2(t)=ω1(t)σ12(t)+ω2(t)σ22(t)\sigma _{w}^{2}(t) = \omega _{1}(t) \sigma _{1}^{2}(t)+\omega _{2}(t)\sigma _{2}^{2}(t) σw2(t)=ω1(t)σ12(t)+ω2(t)σ22(t)
权重 ωi\omega_{i}ωi是被阈值 ttt 分开后两个类的概率，而σi2\sigma_{i}^{2}σi2是这两个类的方差。

大津证明了最小化类内方差和最大化类间方差是相同的，

σb2(t)=σ2−σw2(t)=ω1(t)ω2(t)[μ1(t)−μ2(t)]2\sigma _{b}^{2}(t)=\sigma ^{2}-\sigma _{w}^{2}(t)=\omega _{1}(t)\omega _{2}(t)\left[\mu _{1}(t)-\mu _{2}(t)\right]^{2}σb2(t)=σ2−σw2(t)=ω1(t)ω2(t)[μ1(t)−μ2(t)]2
用类概率 ωi\omega _{i}ωi 和类均值 μi\mu _{i}μi来表示。

类概率 ω1(t)\omega _{1}(t)ω1(t) 用阈值为 ttt 的直方图计算：
ω1(t)=Σ0tp(i)\omega _{1}(t)=\Sigma _{0}^{t}p(i)ω1(t)=Σ0tp(i)
而类均值 μ1(t)\mu _{1}(t)μ1(t)为：
μ1(t)=[Σ0tp(i)x(i)]/ω1\mu _{1}(t)=\left[\Sigma _{0}^{t}p(i)\,x(i)\right]/\omega _{1}μ1(t)=[Σ0tp(i)x(i)]/ω1
x(i)x(i)x(i)为直方图中第i个灰度值对应的binbinbin中数量。

3 代码

//获取灰度图像直方图
//src 灰度图像
//histo 直方图记录数组
void getHistogram(Mat& src,long* histo)
{if (src.data == NULL)return;int rows = src.rows;int cols = src.cols;for (int i=0;i<rows;i++){uchar* p = src.ptr<uchar>(i);for (int j=0;j<cols;j++){histo[p[j]]++;}}return;
}

//Otsu获得分割阈值
//histo直方图
//totals 总的像素数量
int getOtsuThreshold(long* histo, long totals)
{//先计算一个累计概率直方图double histoP[256] = {0};histoP[0] = histo[0]*1.0 / totals;for (int i=1;i<256;i++){histoP[i] = histoP[i-1] + histo[i]*1.0 / totals;}//再计算累计期望直方图pi*xidouble mean[256] = {0};mean[0] = histoP[0]*histo[0];for (int i=1;i<256;i++){mean[i] = mean[i-1] + histoP[i]*histo[i];}//mena[255]即为整个直方图的期望int t0 = 0; //返回的阈值//<=t为一类，>t为另一类double w1,w2,u1,u2,std2;std2 = 0;double temp;for (int t=0;t<256;t++){w1 = histoP[t];w2 = 1 - w1;u1 = mean[t] / w1;u2 = (mean[255]-w1 * u1) / w2;temp = w1 * w2 * pow((u1 - u2),2); //当前t分类的类间方差if (std2 < temp){std2 = temp;t0 = t;}}return t0;
}

4 局限性

如果直方图可以假定为具有双峰分布，并且假定在两个峰之间具有深而尖锐的谷底，则Otsu的方法将表现出相对较好的性能。但是，如果图像被加性噪声严重破坏，或者很难区分前景和背景，则灰度直方图没有锐利谷值，Otsu方法分割效果较差。

5 参考

https://en.wikipedia.org/wiki/Otsu%27s_method

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