博弈游戏之三大博弈---bashWythoffNimm

奇异局势（必败态）

博弈是不公平的游戏因为只要双方足够聪明从游戏开始就已经确定了结果

在我们的博弈游戏中想获取胜利就要寻找必输状态

要寻找必败状态首先要知道什么情况下算输

在游戏规则下轮到你了却无法进行操作就认定为输了（这是游戏的前提）

然后我们寻找必败态

想一下如果你面对必败态那么你做任何操作都将会把局面转化为非必败态（如果你能转化为必败态你对手岂不是输了~~~~~那你就不是必败了）

那么你只能转化为非必败态你的对手面对非必败态一定可以将其转化为必败态（这样才能保证你必败~~）

综上 --在一个存在必输局面和必赢策略的游戏中一定满足以下性质

1、非必败态一定可以移动到必败态；

2、在必败态做的所有操作的结果都是非必败态。

（不是官方的定义我自己总结的帮助理解如有不足欢迎指正）

那么我们找到的必败态最起码要满足这两个性质。

巴什博弈-Bash Game

条件:

n 个物品堆成一堆。两个人轮流从这堆物品中取，规定每次至少取一个，最多取 m 个。最后取光者得胜。（无法取者败）

正解：

n大于m时如果 n%(m+1)≠0 先手必胜

原理：

我们证明下 n%(m+1)=0 先手必败

当轮到你拿的时候如果 n是（m+1）的倍数我们称这种情况为奇异局就是必败局

简单想一下比如有n=6 m=5 每次最多拿5个你拿不完而且不管你拿几个对手都可以拿完取得胜利

而n=（m+1）*k时是一样的每次不管你怎么拿你都不能保持局面是（m+1）的倍数（这就满足了必败态的性质2）

而你的对手每次都可以拿走几个保持局面是（m+1）的倍数（满足了必败态的性质1）

所以 n%(m+1)=0 先手必败不是（m+1）的倍数的时候你只要拿走几个让局面变成奇异局就好了

威佐夫博奕Wythoff's game

条件：

威佐夫博弈（Wythoff's game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从任一堆取至少一个或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

正解：

面对奇异局势先手必输。

如何判断是不是奇异局势：给你（a，b） a<b

k=b-a 如果 a =[k（1+√5）/2]，b= a + k （方括号表示取整) 就是奇异局势

解释：

我们用（a[k]，b[k]）（a[k] ≤ b[k] ,k=0，1，2，...,n)（表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，如果甲面对（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）都可以推出甲必输。这一串数有什么规律呢

（ai,bi） ai是前面未出现过的最小整数。bi=ai+k; k呢是这一串数的序号第一个是0 然后是1 2 3.。。

同时k也是这几对数每对数（a，b）的差值

这是我们找到的规律是否就是我们要找的奇异局势也就是必输局面呢

我们证明一下

证明之前我们先观察我们发现的规律

很容易发现它有一个性质

任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。

ai是前面未出现过的最小整数。bi=ai+k;由这两个规律，从数学上可以证明此性质。

然后再看满足我们说的规律的数是否满足必败态的性质

满足性质1、非必败态一定可以移动到必败态；

面对（a，b）一对数，只有相等和不相等两种情况。不管相等还是不相等，根据刚才提到的性质，都必然有一个数属于一个奇异局势，而我们只要对另一个数进行减法操作就可以使它变为奇异局势。（主要是因为性质：.每个数，必然存在它对应的奇异局势。）我们很容易变到奇异局势。

满足性质2、在必败态做的所有操作的结果都是非必败态。

根据性质1，若只改变奇异局势（a[k]，b[k]）的某一个分量，那么另一个分量不可能出现在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（a[i]，b[i]）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。（每个奇异局势的差是唯一的）

所以符合我们规律的就是我们要找的必败局面奇异局势

那么我们只要判断出符合我们找到的规律就行

bi=ai+k; k是（ai，bi）的差值但是ai不好找

我们进一步发现规律 ai=[k*1.618]方括号代表取整。（0.618是黄金分割数，但是我们写代码不能写0.618，因为后边还有小数需要精确，所以我们写 (1+sqrt(5) )/2

1.618=（1+sqrt（5））/2

所以结论是如果a =[k（1+√5）/2]，b= a + k （方括号表示取整) 就是奇异局势

代码

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<math.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int T,n,m,a,b;
int main(){scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d%d",&n,&m);a=min(m,n);b=max(m,n);int k=b-a;if(a==(int)( k*( 1+sqrt(5) )/2 ) )printf("B\n");else printf("A\n");}return 0;
}

尼姆博弈 Nimm game

有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

正解

每堆物品的数量进行异或运算结果等于0 就是奇异局势就是必败态

原理

我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情形。

这些局势都满足 a^b^c=0

而异或运算法则是 相同为0 不同为1 根据运算法则 面对奇异局你不论怎么拿都不会还=0（满足性质2）

而不满足的a^b^c=0的局势我们都可以使其变成a^b^c=0

因为局面(a,b,c) 我们只要令最大的数比如是a 令a=b+c 就变成了 (b+c)^b^c=(b^b)+(c^c)=0（满足性质1）

所以 a^b^c=0就是i我们要找的奇异局势必败状态