一个博弈游戏,据说智商130才看的懂
博弈论是一门非常有意思的学问,之前小灰曾经分享过两个著名的博弈场景:囚徒困境和智猪博弈。
今天,我们来介绍一个更加烧脑的博弈游戏:硬币游戏。
游戏规则
小灰和大黄都有若干块糖果。有一天大黄提议和小灰玩一个游戏。这是个什么游戏呢?规则很简单:
首先,他们各自拿出一枚硬币,并同时亮出
如果同为正面,大黄给小灰3块糖果
如果同为反面,大黄给小灰1块糖果
如果是一正一反,小灰给大黄2块糖果
经过若干轮游戏,小灰的糖果都被大黄赢走了......
概率里的陷阱
为什么会发生这样的事情呢?我们可以好好探究一下这个问题。让我们试试看用一个表格表示小灰的收入:
↓ 小灰的选择 → 大黄的选择 | 亮正面 | 亮反面 |
---|---|---|
亮正面 | 3 | -2 |
亮反面 | -2 | 1 |
乍一看每种情况出现的概率都是
,因此这个游戏似乎是极其公平的?那么是因为小灰运气不好呢?不不不,这个游戏里,其实包含着一个隐蔽 的漏洞:
如果是随机的抛硬币,那么每种情况出现的概率的确是
,但是不要忘了,这个游戏的规则不是随机的抛硬币,我们可以主观选择自己亮出的硬币是正面还是反面,就像在玩“石头剪子布”一样。
我们假设大黄出正面的概率为p,小灰出正面的概率为
,那么我们可以得到下图:
左图表示大黄,右图表示小灰
可以看到,此时
表示大黄出正面的概率,表示大黄出反面的概率,表示小灰出正面的概率,而表示小灰出反面的概率。
以此为基础,很容易计算出:
两人同时出正面的概率是 pq , 小灰的收获是3
两人同时出反面时的概率是(1-p)(1-q) , 小灰的收获是1
小灰出正面,大黄出反面的概率是(1-p)q , 小灰的收获是-2
小灰出反面,大黄出正面的概率是p(1-q) , 小灰的收获是-2
我们用一个字母
表示小灰的预期收获,那么的值为:
(也就是把他们加在一起了)
简化之得:
下面的分析会比较烧脑,涉及到含参数不等式以及减函数的知识,一次看不明白的小伙伴可以多看几遍。
求解方程
大黄想要赢小灰,就要使小灰的收入
小于,我们可以列出不等式:
把
的值代入,即:
大黄无法修改小灰的
值,但是他却能修改自己的值,因此我们要求的就是值的解集。把原式当做一个未知数为 的含参数不等式,先将参数项移至右面,把未知数项放在左面
合并同类项可得到:
对于一个含参数的不等式,我们要进行分类讨论:
当参数>0时(两边同时除以参数,不等式符号不变)
当参数<0时(两边同时除以参数,不等式符号改变)
当参数=0时(原式有任意解)
上面所说的参数,是指 8q-3 这一项
注:由于
在这里表示一个概率,因此的取值范围一定只有,也就是说,当为任意解时,也仅仅只对任意的成立。
对于上面参数不等式的三种情况,让我们分别进行具体讨论:
情况A,当参数大于0,即
,
时:
(不等式符号不变)
当定义域为
时,有函数
对应的函数图像为
将其不断放大,直到
的定义域为,发现函数图像的曲线是向下的:
也就是说,这是一个减函数,其定义域上的任何自变量
都有对应的。
为了保证(在q的定义域内)不等式成立,p必须小于f(1),也就是
时,原式成立。
情况B,当参数小于0,即
,
时:
(不等式符号相反)
当定义域为
时,函数为一个减函数,具体的函数图像可以看下图:
虽然它的曲线和刚才略有不同,不过仍然符合减函数的定义。
为了保证在(q的定义域内)不等式成立,p必须大于f(0),也就是
时,原式成立。
情况C,当参数等于0,即
,
时:
(任意解)
(仍然符合
)
我们把情况A、情况B、情况C当中p的取值范围求一个交集,最终得出:当大黄把亮正面的概率
控制在时,小灰一定会输。
应用场景
这个游戏远远不止于此,其实它还能应用到生活中的很多场景里。我们以炒股为例子,把大黄想象成庄家,把亮正面想成做空,亮反面想成做多,那么在这个由庄家掌握的局面下,很显然投资者(也就是小灰)一定是会吃亏的。因此,请远离炒股,炒股有风险,投资需谨慎。
这个博弈论的问题就讲解到这里,谢谢阅读!
投稿作者:王乙堃
编辑整理:小灰
需要特别说的的是,王乙堃同学年仅12岁,在读小学六年级,能写出这样的文章真的很了不起,非常感谢他的投稿!
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