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NO.1 01背包问题

NO 2 完全背包问题

动态规划是我们c++学习中不可避免且相对棘手的问题，正所谓，吾后院有枇杷树，初学动规时手植也，今已亭亭如盖矣...，动规最大的优点是以空间为代价，节省时间，从某种角度说，他是递归的超进化。

在普通的递归中，我们如果要算出f(n+1)，那我们必然要先求出f(n)，而要求f(n)，就要求f(n-1)，而要求f(n-1)，就要......（不断的重复重复再重复，吧啦吧啦)，这么操作实在是too young too naive，太傻太天真。假设有这么一种情况，当我们要求f(n+1)，时，f(n)的数据已将早早的被我们储存了，而动态规划就能够实现这样皆大欢喜的事。

动态规划中一般用数组为工具来实现。

我们将从背包问题入手来直接进行介绍。

NO.1 01背包问题

有 N件物品和一个容量是 V的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 v[i]，价值是 w[i]。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

(遗憾的是，尽管有01，但是没有我们想要的0和1...)

同志们，在解决这道题之前，重中之重是我们的解题思路，首先根据题目意思，我们创造一个二维数组f[i][j]，i为物品类型，j为体积。

紧接着我们需要画一幅图，我称其为西方的耶路撒冷

解释一下，动态规划中的f[]数组的含义最为重要，也是最难想到的。在状态计算中，我们要牢记“最后”这一概念，因为我们是在选第i个，所以最后i类是我们要操心的，而不是前面的所有i-1个，此时我们有两个选择，选i个物品或不选。

如果不选i，则f[i][j]将变成f[i-1][j]，从含以上来解释，即从前i-1个物品中选，总体积不超过j。

如果选i，则我们暂时的将i先排除在外，又因为总体积不超过j，所以式子变为f[i-1][j-v[i]]，再把i变回来，式子最终为f[i-1][j-v[i]]+w[i]。

我们来看看代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int f[N][N];
int v[N],w[N];
int n,m;
int main()
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>v[i]>>w[i];}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=0;j<=m;j++){f[i][j]=f[i-1][j];if(j-v[i]>=0)f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);}}cout<<f[n][m]<<endl;return 0;
}

我们的一个简单01背包问题就解决了。

然而，我们还能对上式进行优化。将f[][]变为f[],这个降维打击是这样子的

我们发现，整道题都是f[i-1][],和f[i][]进行比较，那么其实我们只要把他们看作是一维数组的不断更新就行了

类似于上图，那我们此时就可以将表示行数的i给删掉，但是注意，我们一维数组的更新顺序是从小到大的，然而，f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i])中的i-1是需要的未更新的f[i-1][]，所以出现矛盾，我们解决方法为将体积的for循环改为从大到小进行。

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int f[N];
int v[N],w[N];
int n,m;
int main()
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>v[i]>>w[i];}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=m;j>=v[i];j--){f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);}}cout<<f[m]<<endl;return 0;
}

NO 2 完全背包问题

根据我们解决01背包问题的思路，我们可以顺利完成次题

有 N 种物品和一个容量是 V的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

先画图

代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N];
int v[N],w[N];
int main()
{int n,m;cin>>n>>m;for(int i = 1 ; i <= n ;i ++){cin>>v[i]>>w[i];}for(int i = 1 ; i<=n ;i++)for(int j = 0 ; j<=m ;j++){for(int k = 0 ; k*v[i]<=j ; k++)f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);}cout<<f[n][m]<<endl;
}

本题我们也有优化方案：我们先将f[i][j]给列出来

再将f[i][j-v[i]]列出来

通过比较，可以看出来，原式可以写为f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i])，此时我们可以将01背包问题的优化思路重新运作一遍，并且这次不需要改变for循环方向。

代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int f[N];
int w[N],v[N];
int n,m;
int main()
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=v[i];j<=m;j++){f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);}}cout<<f[m]<<endl;return 0;
}

#多重背包问题以及分组背包问题的求解方法将在动态规划入门2中推出

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