数据分析（1）——统计学中的各种分布

1. 离散概率分布
- 1.1 二项分布
- - 1.1.1 二项分布的定义及其公式
  - 1.1.2 二项分布的性质（适用情况）
  - 1.1.3 例题
- 1.2 伯努利分布
- - 1.2.1 伯努利分布的定义及其公式
  - 1.2.2 伯努利分布的适用情况（举例）
- 1.3 几何分布
- - 1.3.1 几何分布的定义和公式
  - 1.3.2 几何分布的适用情况（与二项分布的区别）
  - 1.3.3 几何分布的题目
- 1.4 泊松分布
- - 1.4.1 泊松分布的定义和公式
  - 1.4.2 泊松分布的性质
  - 1.4.3 泊松分布的适用情况（例题）
2 连续概率分布
- 2.1 指数分布
- - 2.1.1 指数分布定义和公式
  - 2.1.2 指数分布适用情况
  - 2.1.3 指数分布与泊松分布的区别
- 2.2 均匀分布
- - 2.2.1 均匀分布的公式
- 2.3 正态分布（高斯分布）
- - 2.3.1 正态分布定义及公式
  - 2.3.2 正态分布的特征
  - 2.3.3 正态分布的性质
小结

1. 离散概率分布

1.1 二项分布

1.1.1 二项分布的定义及其公式

① 定义：在给定每次实验的成功概率p、实验次数n的情况下，成功数x的频数分布。
在二项分布中，关注的是在n次试验中成功出现的次数。
② 二项分布的概率函数：

③ 二项分布的数学期望和方差：

1.1.2 二项分布的性质（适用情况）

① 实验由一系列相同的n个实验组成
② 每次实验都有两种可能结果，及成功和失败
③ 每次实验成功的概率相同，用p表示，失败概率则为1-p
④ 实验都是相互独立的

1.1.3 例题

如果链接点击转换为购买的概率为0.02，那么观测到200次点击但没有购买的概率？

解答：

题为求200次没有成功的概率（1-200次中成功一次的概率），服从二项分布
p = 0.02 , n= 200, x = 1
观测到200次点击但没有购买的概率为：

1.2 伯努利分布

1.2.1 伯努利分布的定义及其公式

① 定义：在二项分布n=1时的特例，一次随机实验，成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，成功的次数也只有0和1两种情况。
② 概率密度：

③ 期望和方差：

1.2.2 伯努利分布的适用情况（举例）

抛硬币（正反）、检测产品（合格不合格）、买彩票（中奖未中奖）

1.3 几何分布

1.3.1 几何分布的定义和公式

① 定义：在重复多次的伯努利实验中，实验进行到某种结果出现第一次为止，此时的实验总次数符合几何分布。
② 概率密度：

其中，p为成功的概率，即为了在第x次尝试取得第1次成功，首先要失败（x-1）次。
③ 期望和方差：

1.3.2 几何分布的适用情况（与二项分布的区别）

二项分布关注“n次实验中成功x的概率”，几何分布关注“第x尝试取得第1次成功的概率”。

1.3.3 几何分布的题目

例：一位滑雪者不出意外顺利滑至坡底的概率为0.4，求
① 前10次滑雪失败，第11次成功的概率
② 第4次或者不足4次就成功的概率
③ 4次以上才能成功的概率

解答：
① 前10次滑雪失败，第11次成功的概率：

② 第4次或者不足4次就成功的概率：

③ 4次以上才能成功的概率：

1.4 泊松分布

1.4.1 泊松分布的定义和公式

① 定义：单位时间内或者单位空间中事件数量的频数分布
② 概率密度：

其中，泊松分布的参数λ是单位时间（单位面积）内随机事件的平均发生次数。
③ 期望和方差：λ
④ 分布图：

1.4.2 泊松分布的性质

① 在任意两个相等长度的区间上，事件发生的概率相等。
② 事件在某一区间上是否发生与事件在其他区间是否发生是独立的。

1.4.3 泊松分布的适用情况（例题）

如：一小时内到达候车厅的人数、10英里长的高速路上需要维修的路段数目

工作日早上15min内到达某银行出纳窗口的汽车数量：
历史数据显示，15min内到达车辆的平均数为10，求15min内恰好到达五辆车的概率。

解答：

2 连续概率分布

2.1 指数分布

2.1.1 指数分布定义和公式

① 定义：建模各次事件之间的时间分布情况

② 概率密度函数：

③ 分布函数：

④ 期望与方差：

⑤ 分布图：

2.1.2 指数分布适用情况

如：网站访问的时间间隔、汽车抵达收费站的时间间隔

2.1.3 指数分布与泊松分布的区别

泊松分布描述了每一区间中事件发生的次数，
指数分布描述了事件发生的时间间隔长度。

2.2 均匀分布

2.2.1 均匀分布的公式

① 定义：均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。
② 概率密度：

③ 概率分布：

④ 期望和方差：

⑤ 分布图：

2.3 正态分布（高斯分布）

2.3.1 正态分布定义及公式

① 定义：经常用在自然和社会科学来代表一个不明的随机变量，比如人的身高和体重、考试成绩、科学测量、降雨量等，都近似正态分布。
② 概率密度：

当期望=0，方差=1时，为标准正态分布：

③ 分布图：

2.3.2 正态分布的特征

① 正态曲线的最高点在均值处，均值还是分布的中位数和众数
② 正态分布是对称的
③ 标准差决定曲线的平坦程度，标准差越大，曲线越平坦
④ 正态随机变量的概率是由正态曲线下的面积给出

2.3.3 正态分布的性质

小结

在离散分布中，要区分二项分布与几何分布的区别。
要明确知道各个分布的适用情况以及大概的分布图示。

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1.3.2 几何分布的适用情况（与二项分布的区别）

1.3.3 几何分布的题目

1.4 泊松分布

1.4.1 泊松分布的定义和公式

1.4.2 泊松分布的性质

1.4.3 泊松分布的适用情况（例题）

2 连续概率分布

2.1 指数分布

2.1.1 指数分布定义和公式

2.1.2 指数分布适用情况

2.1.3 指数分布与泊松分布的区别

2.2 均匀分布

2.2.1 均匀分布的公式

2.3 正态分布（高斯分布）

2.3.1 正态分布定义及公式

2.3.2 正态分布的特征

2.3.3 正态分布的性质

小结

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