前言

坐标系定义：原点在静水面(SWL)，Z轴向上为正，海底为-h，X轴取波浪传播方向为正。
波浪自由表面：η=H2cos(kx−σt)\eta=\frac {H} {2} cos(kx-\sigma t)η=2Hcos(kx−σt)

一、微幅波控制方程和边界条件

{G.D.E:∇2Φ=∂2Φ∂x2+∂2Φ∂z2=0,(−h≤z≤η,−∞≤x≤+∞)B.B.C:∂Φ∂z=0,(z=−h)D.F.S.B.C:η=−1g∂Φ∂t,(z=0)K.F.S.B.C:∂η∂t=∂Φ∂z,(z=0)L.B.C:Φ(x,z,t)=Φ(x−ct,z)\begin{cases} G.D.E: &\nabla^2\Phi=\frac {\partial ^2 \Phi} {\partial x^2} + \frac {\partial ^2 \Phi} {\partial z^2}=0, \ \ (-h\le z\le\eta,\ -\infty\le x\le+\infty)\\\\ B.B.C: &\frac {\partial\Phi} {\partial z}=0,\ (z=-h)\\\\ D.F.S.B.C:&{\eta=-\frac 1 g \frac {\partial\Phi} {\partial t}, (z=0)}\\\\ K.F.S.B.C:&\frac {\partial\eta} {\partial t}=\frac {\partial\Phi} {\partial z}, (z=0)\\\\ L.B.C:&\Phi(x,z,t)=\Phi(x-ct,z) \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧G.D.E:B.B.C:D.F.S.B.C:K.F.S.B.C:L.B.C:∇2Φ=∂x2∂2Φ+∂z2∂2Φ=0, (−h≤z≤η, −∞≤x≤+∞)∂z∂Φ=0, (z=−h)η=−g1∂t∂Φ,(z=0)∂t∂η=∂z∂Φ,(z=0)Φ(x,z,t)=Φ(x−ct,z)
由D.F.S.B.C可知η\etaη和速度势函数Φ\PhiΦ在时间上的导数呈线性关系，不妨设Φ=f(z)sin(kx−σt)\Phi=f(z)sin(kx-\sigma t)Φ=f(z)sin(kx−σt)，只要根据控制方程和边界条件求解f(z)f(z)f(z)，即可知道波浪的运动特性。

二、通过G.D.E求Φ\PhiΦ表达式形式

根据微幅波控制方程(G.D.E):∂2Φ∂x2+∂2Φ∂z2=0\frac {\partial ^2 \Phi} {\partial x^2} + \frac {\partial ^2 \Phi} {\partial z^2}=0∂x2∂2Φ+∂z2∂2Φ=0
有：
{∂Φ∂x=f(z)kcos(kx−σt)∂Φ∂z=f′(z)sin(kx−σt)\begin{cases} \frac {\partial \Phi} {\partial x} = f(z)kcos(kx-\sigma t)\\\\ \frac {\partial \Phi} {\partial z} = f'(z)sin(kx-\sigma t) \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧∂x∂Φ=f(z)kcos(kx−σt)∂z∂Φ=f′(z)sin(kx−σt)
{∂2Φ∂x2=−f(z)k2sin(kx−σt)∂2Φ∂z2=f′′(z)sin(kx−σt)\begin{cases} \frac {\partial ^2 \Phi} {\partial x^2}= -f(z)k^2sin(kx-\sigma t)\\\\ \frac {\partial ^2 \Phi} {\partial z^2} = f''(z)sin(kx-\sigma t) \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧∂x2∂2Φ=−f(z)k2sin(kx−σt)∂z2∂2Φ=f′′(z)sin(kx−σt)
式（12）则化为：
∂2Φ∂x2+∂2Φ∂z2=0\frac {\partial ^2 \Phi} {\partial x^2} + \frac {\partial ^2 \Phi} {\partial z^2}=0∂x2∂2Φ+∂z2∂2Φ=0
f′′(z)sin(kx−σt)−f(z)k2sin(kx−σt)=0f''(z)sin(kx-\sigma t)-f(z)k^2sin(kx-\sigma t)=0f′′(z)sin(kx−σt)−f(z)k2sin(kx−σt)=0
化简：
[f′′(z)−k2f(z)]sin(kx−σt)=0[f''(z)-k^2f(z)]sin(kx-\sigma t)=0[f′′(z)−k2f(z)]sin(kx−σt)=0其中sin(kx−σt)sin(kx-\sigma t)sin(kx−σt)不恒为0，则要求[f′′(z)−k2f(z)][f''(z)-k^2f(z)][f′′(z)−k2f(z)]恒为0。
[f′′(z)−k2f(z)]=0(1)[f''(z)-k^2f(z)]=0\tag{1}[f′′(z)−k2f(z)]=0(1)
这里涉及到求解常系数齐次线性微分方程，方法见我的另一篇帖子。
方程（1）的特征方程为r2−k2=0r^2-k^2=0r2−k2=0，因此通解的结构为f(z)=Aekz+Be−kz(2)f(z)=Ae^{kz}+Be^{-kz}\tag{2}f(z)=Aekz+Be−kz(2)
速度势函数则为Φ=(Aekz+Be−kz)sin(kx−σt)(3)\Phi=(Ae^{kz}+Be^{-kz})sin(kx-\sigma t)\tag{3}Φ=(Aekz+Be−kz)sin(kx−σt)(3)

三、通过B.B.C求待定系数A、B的关系

根据底部边界条件(B.B.C)：
∂Φ∂z=0,(z=−h)\frac {\partial\Phi} {\partial z}=0,\ (z=-h)∂z∂Φ=0, (z=−h)
有∂Φ∂z=(Akekz−Bke−kz)sin(kx−σt)=0,(whenz=−h)\frac {\partial\Phi} {\partial z}=(Ake^{kz}-Bke^{-kz})sin(kx-\sigma t)=0,\ (when\ z=-h)∂z∂Φ=(Akekz−Bke−kz)sin(kx−σt)=0, (when z=−h)
其中sin(kx−σt)sin(kx-\sigma t)sin(kx−σt)不恒为0，所以(Akekz−Bke−kz)=0(Ake^{kz}-Bke^{-kz})=0(Akekz−Bke−kz)=0，代入z=−hz=-hz=−h：
Ake−kh−Bkekh=0Ake^{-kh}-Bke^{kh}=0Ake−kh−Bkekh=0Ake−kh=Bkekh(4)Ake^{-kh}=Bke^{kh} \tag{4}Ake−kh=Bkekh(4)

对方程（2）作变形，等式右边同乘ekhe−khe^{kh}e^{-kh}ekhe−kh：

f(z)=Aekz+Be−kz=ekhe−kh(Aekz+Be−kz)=Ae−khekzekh+Bekhe−khe−kz\begin{aligned} \ f(z)=&Ae^{kz}+Be^{-kz}\\\\ \ =&e^{kh}e^{-kh}(Ae^{kz}+Be^{-kz})\\\\ \ =&Ae^{-kh}e^{kz}e^{kh}+Be^{kh}e^{-kh}e^{-kz} \end{aligned} f(z)= = =Aekz+Be−kzekhe−kh(Aekz+Be−kz)Ae−khekzekh+Bekhe−khe−kz代入（4）有：
=2Ae−kh⋅ek(h+z)+e−k(h+z)2\begin{aligned} \ =&2Ae^{-kh}\cdot\frac {e^{k(h+z)}+e^{-k(h+z)}} {2}\\ \end{aligned} =2Ae−kh⋅2ek(h+z)+e−k(h+z)f(z)=2Ae−khcosh[k(h+z)](5)f(z)=2Ae^{-kh}cosh[k(h+z)]\tag{5}f(z)=2Ae−khcosh[k(h+z)](5)

四、通过D.F.S.B.C确定系数A

现在Φ\PhiΦ可以写成Φ=2Ae−khcosh[k(h+z)]sin(kx−σt)(6)\Phi=2Ae^{-kh}cosh[k(h+z)]sin(kx-\sigma t)\tag{6}Φ=2Ae−khcosh[k(h+z)]sin(kx−σt)(6)
根据自由表面动力边界条件(D.F.S.B.C)：
η=−1g∂Φ∂t,(z=0)\eta=-\frac 1 g \frac {\partial\Phi} {\partial t}, (z=0)η=−g1∂t∂Φ,(z=0)
解得：η=σg2Ae−khcoshkh⋅cos(kx−σt)(7)\eta=\frac {\sigma} {g} 2Ae^{-kh}coshkh\cdot cos(kx-\sigma t)\tag{7}η=gσ2Ae−khcoshkh⋅cos(kx−σt)(7)
又有设 η=H2cos(kx−σt)\eta=\frac {H} {2} cos(kx-\sigma t)η=2Hcos(kx−σt)，消去同项得：H2=σg2Ae−khcoshkh\frac H 2 = \frac \sigma g2Ae^{-kh}coshkh2H=gσ2Ae−khcoshkh
得2Ae−kh=gH2σ⋅1coshkh(8)2Ae^{-kh}=\frac {gH} {2 \sigma}\cdot \frac 1 {coshkh}\tag{8}2Ae−kh=2σgH⋅coshkh1(8)
将式（8）代入式（6）有：
Φ=gH2σ⋅cosh[k(h+z)]cosh(kh)⋅sin(kx−σt)(9)\Phi = \frac {gH} {2 \sigma}\cdot \frac {cosh[k(h+z)]} {cosh(kh)} \cdot sin(kx-\sigma t) \tag{9}Φ=2σgH⋅cosh(kh)cosh[k(h+z)]⋅sin(kx−σt)(9)
至此求得微幅波速度势函数，即式（9）

五、通过K.F.S.B.C求解弥散关系(dispersion relationship)

根据自由表面运动边界条件(K.F.S.B.C)：
∂η∂t=∂Φ∂z,(whenz=0)(10)\frac {\partial\eta} {\partial t}=\frac {\partial\Phi} {\partial z}, (when\ z=0)\tag{10}∂t∂η=∂z∂Φ,(when z=0)(10)
等式左边：
{η=H2cos(kx−σt)∂η∂t=Hσ2sin(kx−σt)\begin{cases} \ \eta=\frac {H} {2} cos(kx-\sigma t)\\\\ \ \frac {\partial\eta} {\partial t}=\frac {H \sigma} 2 sin(kx-\sigma t)\\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧ η=2Hcos(kx−σt) ∂t∂η=2Hσsin(kx−σt)
等式右边：
{Φ=gH2σ⋅cosh[k(h+z)]cosh(kh)⋅sin(kx−σt)∂Φ∂z=gHk2σ⋅sinh[k(h+z)]cosh(kh)⋅sin(kx−σt)=gHk2σ⋅sinh(kh)cosh(kh)⋅sin(kx−σt),(whenz=0)\begin{cases} \ \Phi = \frac {gH} {2 \sigma}\cdot \frac {cosh[k(h+z)]} {cosh(kh)} \cdot sin(kx-\sigma t)\\\\ \ \frac {\partial\Phi} {\partial z}=\frac {gHk} {2 \sigma}\cdot \frac {sinh[k(h+z)]} {cosh(kh)} \cdot sin(kx-\sigma t)\\\\ \ \ \ \ \ \ \ =\frac {gHk} {2 \sigma}\cdot \frac {sinh(kh)} {cosh(kh)} \cdot sin(kx-\sigma t), (when\ z=0) \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ Φ=2σgH⋅cosh(kh)cosh[k(h+z)]⋅sin(kx−σt) ∂z∂Φ=2σgHk⋅cosh(kh)sinh[k(h+z)]⋅sin(kx−σt) =2σgHk⋅cosh(kh)sinh(kh)⋅sin(kx−σt),(when z=0)
此时式（10）可改写成：Hσ2sin(kx−σt)=gHk2σ⋅sinh(kh)cosh(kh)⋅sin(kx−σt)\frac {\cancel{H} \sigma} {\cancel 2} \cancel {sin(kx-\sigma t)}=\frac {g\cancel{H}k} {\cancel{2} \sigma}\cdot \frac {sinh(kh)} {cosh(kh)} \cdot \cancel {sin(kx-\sigma t)}2Hσsin(kx−σt)=2σgHk⋅cosh(kh)sinh(kh)⋅sin(kx−σt)
整理可得波浪运动的重要方程弥散方程
σ2=gktanh(kh)(11)\sigma^2=gktanh(kh)\tag{11}σ2=gktanh(kh)(11)

六、通过弥散方程讨论波浪运动特点

根据上述的推导，我们得到弥散方程的一般形式，其中σ=2πT\sigma = \frac {2\pi} Tσ=T2π，k=2πLk=\frac {2\pi} Lk=L2π，代入（11）得：
L=gT22πtanh2πLh(12)L=\frac {gT^2} {2\pi}tanh\frac{2\pi} {L} h\tag{12}L=2πgT2tanhL2πh(12)
又有c=LTc=\frac {L} {T}c=TL，有：
c=gT2πtanh2πLh(13)c=\frac {gT} {2\pi}tanh\frac{2\pi} {L} h\tag{13}c=2πgTtanhL2πh(13)
说明：式（11）、（12）、（13）为弥散方程的三种不同形式。

由弥散方程可知微幅波运动具有以下特点：
（1）、波浪要素L、T、h并不相互独立。对于给定水深h，每一个周期T对应一个波长为L的波；又因为c=LTc=\frac {L} {T}c=TL，所以每个周期T（或说每个波长L）对应一个确定的波速c，表现在物理现象上就是波浪的弥散现象，即不同周期的波拥有不同的波速而分离开来。
（2）、虽然弥散方程是一个隐式方程，涉及到迭代求解，但有结论：
当T一定时，波浪从深h到浅h传播时，L变小，c=LTc=\frac {L} {T}c=TL也变慢；
当h一定时，波周期T越长，波长L越长，波速c越快。

求解弥散方程时，需要查表或迭代试算，一般先假设为深水波，即tanhkh=1tanhkh=1tanhkh=1，算得L0=gT22πL_0=\frac {gT^2} {2\pi}L0=2πgT2，再回代求L1=gT22πtanh2πL0hL_1=\frac {gT^2} {2\pi}tanh\frac{2\pi} {L_0} hL1=2πgT2tanhL02πh，判断∣L0−L1∣|L_0-L_1|∣L0−L1∣是否小于一个规定的小数，若小于则说明收敛，若不小于则继续迭代直至满足要求。

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