不同直径的圆转一圈后，滚过的距离相同？谈一下亚里士多德车轮悖论与无穷小

1 亚里士多德的车轮悖论

如下的木头轮子，可以将它抽象为两个同心圆，大的表示车轮，小的表示车轴：

假设大圆的半径为 $R$ ，小圆的半径为 $r$ 。那么车轮在水平线上（无滑动地）滚动一圈的话，两个圆的底部都会平移相同的距离，即大圆的周长 $2\pi R$ ：

想象大圆、小圆上分别涂上了不同颜色的油漆，车轮滚动一圈后，大圆、小圆所接触的水平线都会被涂满油漆，并且这两段水平线的长度都为 $2\pi R$ ：

也就是说，半径不同的两个圆，同步旋转一圈后，辗过的水平长度都是 $2\pi R$ ，就常识而言，这个结论非常奇怪。这就是古希腊数学家亚里士多德在《论机械》中提出的车轮悖论：

2 伽利略的思考

1638年出版的《论两种新科学及其数学演化》中，伽利略在其中提到了如何解释亚里士多德的车轮悖论：

上面的图像可能有一点抽象，下面用更容易理解点的方式来解释下伽利略的思考。我们知道，可用正 $n$ 边形去近似圆， $n$ 越大，越接近于圆：

因为多边形和圆的这种关系，所以先来考虑下正六边形的轮子旋转，虽然这种轮子在水平路面上肯定不舒服。想象这样的轮子，大六边形和小六边形都涂上了不同颜色的油漆，车轮滚动一圈后，大六边形底边所在水平线涂满了油漆，而小六边形所在底边水平线并没有涂满：

正十四边形更像圆了，同样的，大十四边形底边所在水平线涂满了油漆，而小十四边形底边所在水平线并没有涂满：

$n\to\infty$ 时，正多边形就是圆了。所以伽利略根据上面的分析，类推得到，大圆底边所在水平线应该涂满了油漆；而小圆底边所在水平线并没有涂满油漆：该水平线上，无穷多个点被涂上了油漆，但是点之间有长度非常非常小的间隔，或者称为长度为无穷小的间隔，是没有涂上油漆的。所以可用虚线来表示小圆经过的水平线：

也就是说小圆实际上没有辗过水平上的每一个点，只是辗过了其中的一部分点。这样，伽利略就回答了亚里士多德的车轮悖论。

3 直线是由点构成的吗？

1621年，意大利数学家卡瓦列里：

向伽利略请教了这么一个问题，可以不可以认为线段是由无穷多个、长度为无穷小的点构成的（这个问题如果成立的话，意味着可以通过将点累加起来得到线段的长度，也就是微积分的萌芽。但是承认点有长度也是非常古怪的）：

伽利略也一直在思考类似的问题，他在反复思考之后，最终从亚里士多德的车轮悖论中得到灵感，说线段是由无穷多个点构成的，而这些点之间夹杂着无穷多个长度为无穷小的空白。按照伽利略的这个设想，既可以保证线段是由点构成的，又可以保证这些点是没有长度的，还可以保证线段本身是有长度的。

当然不论是卡瓦列里，还是伽利略的假说，都是蕴涵矛盾的。当时人们认为无穷小是非常非常非常小的实数（这个认识是错误的，在现代的数学定义中，无穷小是函数，或者是数组，具体的解释可以查看这里），那么无穷多个长度为无穷小的点加起来（卡列瓦里的线段假设），或者无穷多个长度为无穷小的空白加起来（伽利略的线段假设），其长度一定是无穷大。但线段的长度很显然不是无穷大。

4 滚动与滑动

由于伽利略对无穷小的错误认识，所以他对亚里士多德的车轮悖论解释是错误的，下面用物理学的观点来解释一下。如果大圆和小圆都是独立滚动的，那么都滚动一圈的话，确实大圆应该水平移动 $2\pi R$ ，而小圆应该水平移动 $2\pi r$ 。

但在悖论中，真正独立滚动的是大圆，小圆是完全被动运动的。所以，悖论中提到小圆的半径为 $r$ 完全是一种误导，让你觉得小圆也在独立滚动。而实际上，小圆是在进行“滚动+滑动”的叠加运动，小圆在水平线上滚动一段距离、滑动一段距离，最终完成了 $2\pi R$ 的平移。

“滚动+滑动”的叠加运动，我们没有办法做出图像，应该有点像刚才伽利略的推理，涂上蓝色油漆的部分对应着滚动，没有涂色的地方对应着滑动：

5 一一对应

抛开物理观点，还可以从数学角度来品味下这个悖论。在小圆上有无穷多个点，在水平线上也有无穷多个点。根据集合论的观点，两个无穷是一样多的，因此小圆上的点和水平线上的点是一一对应的（为了避免图像太乱，下面选了几个点作为示意）：

小圆上的点和水平线上的点重合，这就是“辗过”的数学定义。那么根据上面的一一对应关系，小圆转动时，小圆上的每个点都可以找到水平线上一个对应的点与之重合，也就是说，小圆可以辗过水平线上所有的点。也就是说，只观察点的话，小圆确实辗过了整个水平线。

上面的推断过程涉及到无穷大的比较，有困惑的同学可以搜索“希尔伯特旅馆悖论”进一步的了解。

6 平移

关于亚里士多德的车轮悖论，还有这么一种解释：轮子滚动一圈之后，平移了 $2\pi R$ 。作为一个整体，轮子上的每一点都肯定平移了 $2\pi R$ 。

也就是说，大家不要去考虑什么小圆，不要跟着悖论的思路走，就不会陷入思维陷阱。

7 小结

虽然伽利略、卡瓦列里关于无穷小的思考是错误的，但他们的尝试、彼此之间的争论是数学发展的推动力。在一代代数学家的努力下，最终微积分才有了严格的定义，成为了现代科学的基石。

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