视觉SLAM中的李群李代数基础

前言

在做SLAM研究的时候，会涉及到对旋转矩阵求导的问题。这时候需要使用矩阵李群的知识，将旋转或者变换等矩阵李群形式，映射到李代数上求解。本文主要涉及两个特殊矩阵李群：特殊正交群（special orthogonal group）SO(3)，表示旋转；特殊欧几里得群（special Euclidean group）SE(3)，表示位姿。

1 群的定义

群（Group）是一个集合加上一种运算所构成的代数结构。该运算将两个元素a和b组成另外一个元素，记为a·b或者ab。记集合为G，运算为· ，则当满足一下四个性质的时候，称(G, •)为一个群。

（1）封闭性（closure）：任意a，b属于G，有a·b仍然属于G;

（2）结合性（associativity）：任意a，b，c属于G，有(a·b)·c = a·(b·c);

（3）单位元（幺元）（identity）：存在a0属于G，对任意b属于G，均有a0·b = b·a0= b;

（4）逆元（invertibility）：任意a属于G，存在a-1属于G，使得a·a-1= a0 。

2 特殊正交群和特殊欧几里得群

特殊正交群：

特殊欧几里得群：

李群：

• 李群是一个微分流形，群上的操作是光滑的。

• 矩阵李群的元素是矩阵，群上的运算是矩阵乘法，元素的逆即矩阵的逆。

• SO(3)和SE(3)都是李群，但是只对乘法封闭，对加法不封闭，不适合做微分、求导运算。

3 李代数

3.1 李代数定义

对于任意一个李群，都存在一个李代数与之对应。李代数是一种位于向量空间的代数结构。李代数包含一个集合V，一个数域F和一个二元运算[ , ]。如果它们满足一下四条性质（封闭性、双线性、自反性、雅克比等价），就称(V, F, [ , ]) 为一个李代数。

（1）封闭性（closure）：[X, Y]属于V,

（2）双线性（bilinearity）：[aX+bY,Z] = a[X,Z]+b[Y,Z], [Z, aX+bY]= a[Z,X]+b[Z,Y],

（3）自反性（alternating）：[X, X] =0,

（4）雅克比等价（Jacobi identity）：[X, [Y,Z]] + [Z, [X,Y]] +[Y, [Z,X]] =0

3.2 李代数的引出过程

3.3 旋转和变换的李代数so(3)和se(3)

与SO(3)对应的李代数是so(3)：

与SE(3)对应的李代数是se(3):

4 指数映射和对数映射

4.1 指数映射

指数映射是从李代数映射到李群的一种方式。

为了定义矩阵指数运算，需要用到泰勒展开式。

令，关于有如下性质：

关于进行泰勒展开：

即罗德里格斯公式。这说明so(3)的物理意义就是旋转向量。

对于se(3)和SE(3)，也能得到类似的指数映射关系。

4.2 对数映射

同理，给定旋转矩阵（李群元素），也能求出对应的李代数。

实际中可以采用下面的公式来求解。

小结

本文的内容参考了《state estimation for robotics》，以及高博（半闲居士）的SLAM公开课，如有错误，敬请指正。

视觉SLAM中的李群李代数基础相关推荐

视觉SLAM中，本质矩阵、基础矩阵、单应性矩阵自由度和秩分析
视觉SLAM中,本质矩阵.基础矩阵.单应性矩阵自由度和秩分析 1.各个矩阵的自由度由于基础矩阵和本质矩阵都是由对极约束来的 1.1 本质矩阵E的自由度为5,秩为2 1.1.1 自由度: 首先,旋转和 ...
视觉SLAM中的数学基础第三篇李群与李代数
转自:http://www.cnblogs.com/gaoxiang12/p/5137454.html 致敬原作者,请移步原作者博文详细浏览前言在SLAM中,除了表达3D旋转与位移之外,我们还要对 ...
SLAM14讲学习笔记（一) 李群李代数基础
第二次翻看<视觉SLAM十四讲>,发现第一次看过的都忘记了,认真分析了一下,我认为是第一次学习没有弄清楚整体的脉络.因此这次做一个小小的总结,希望不要再过几天又忘掉.前面的内容就没有总结的 ...
SLAM | 视觉SLAM中的后端：后端优化算法与建图模板
点击上方"AI算法修炼营",选择加星标或"置顶" 标题以下,全是干货前面的话前面系列一中我们介绍了,VSLAM 是利用多视图几何理论,根据相机拍摄的图像信息 ...
SVO: 视觉SLAM中特征点法与直接法结合
点击上方"小白学视觉",选择加"星标"或"置顶" 重磅干货,第一时间送达前面的话 VSLAM 是利用多视图几何理论,根据相机拍摄的图像信息 ...
SLAM | 视觉SLAM中特征点法与直接法结合：SVO
点击上方"3D视觉工坊",选择"星标" 干货第一时间送达前面的话 VSLAM 是利用多视图几何理论,根据相机拍摄的图像信息对相机进行定位并同时构建周围环境地图 ...
视觉SLAM中的公制尺度（metric scale）
在很多视觉SLAM相关的文献中,都能看到一个词:metric scale,翻译为公制尺度.搜索这个词,得到的结果都是关于公制单位的. 其实在SLAM中公制尺度可以理解为"现实中的尺度&quo ...
OA-SLAM：在视觉SLAM中利用对象进行相机重新定位
作者 | 鱼肖浓编辑 | 汽车人原文链接:https://zhuanlan.zhihu.com/p/587010197 点击下方卡片,关注"自动驾驶之心"公众号 ADAS巨卷 ...
视觉SLAM中PNP求解
PNP(Perspective-n-points)是SLAM中估计位姿的重要方法.已知条件为路标点在相机1中的相机坐标以及投影到相机2中的像素坐标,据此去估计相机1.相机2间的位姿.主要解法包括DLT ...

视觉SLAM中的李群李代数基础

视觉SLAM中的李群李代数基础相关推荐

最新文章

热门文章