排列熵、模糊熵、近似熵、样本熵的原理及MATLAB实现之近似熵

说明：“本博文为排列熵、模糊熵、近似熵、样本熵的原理及MATLAB实现”系列博文的最后一篇，关于排列熵、模糊熵、样本熵的内容请阅读博客：

排列熵

模糊熵

样本熵

近似熵

四、近似熵
- 1.简介
- 2.基本原理
- 3.MATLAB代码
- 参考文献

四、近似熵

1.简介

近似熵（approximate entropy，ApEn）可以定量描述时间序列的复杂程度，序列的复杂性越大，相应的近似熵也越大。近似熵的值受数据量的影响较小，对于非平稳、非线性序列的量化结果稳定，在实际工程中得以广泛应用。

2.基本原理

设有长度为 NNN 的时间序列X=[x1,x2,…,xN]X= [x_{1}, x_{2},…,x_{N} ]X=[x1,x2,…,xN]，其近似熵的计算步骤如下：
Step1：将时间序列 XXX 的元素按顺序排列为具有 mmm 维数的向量，即
Xi=[x(i),x(i+1),...,x(i+m−1)]X_{i}=[x(i),x(i+1),...,x(i+m-1)] Xi=[x(i),x(i+1),...,x(i+m−1)]
式中，i=1,2,…,N−m+1i=1, 2 , … , N-m+1i=1,2,…,N−m+1。
Step2：定义 d[Xi,Xj]d [X_{i}, X_{j}]d[Xi,Xj] 为向量 XiX_{i}Xi 与 XjX_{j}Xj 的距离，则：
d[Xi,Xj]=max∣x(i+k)−x(j+k)∣，k∈(0,m−1)d [X_{i}, X_{j}]=max|x(i+k)-x(j+k)|，k∈(0,m-1) d[Xi,Xj]=max∣x(i+k)−x(j+k)∣，k∈(0,m−1)
Step3：记 BiB_{i}Bi 为 d[Xi,Xj]≤rd [X_{i}, X_{j}] ≤ rd[Xi,Xj]≤r的个数( rrr 为相似容限)，并计算 BiB_{i}Bi 与全部矢量数 N−m+1N-m+1N−m+1 的比值，即：
Bim(r)=BiN−m+1B^{m}_{i}(r)=\frac{B_{i}}{N-m+1} Bim(r)=N−m+1Bi
Step4：对 Bim(r)B^{m}_{i}(r)Bim(r) 进行取对数运算，再求其对所有 iii 的平均值，记作 Bm(r)B^{m}(r)Bm(r) ，则有：
Bm(r)=1N−m+1∑i=1N−m+1lnBim(r)B^{m}(r)=\frac{1}{N-m+1}\sum_{i=1}^{N-m+1}lnB^{m}_{i}(r) Bm(r)=N−m+11i=1∑N−m+1lnBim(r)
Step5：令 m=m+1m=m+1m=m+1，并重复 Step1~Step4，即可得到 Bm+1(r)B^{m+1}(r)Bm+1(r) 。
Step6：理论上，此序列的近似熵为：
ApEn(m,r)=lim[Bm(r)−Bm+1(r)]，N→∞ApEn(m,r)=lim[B^{m}(r)-B^{m+1}(r)]，N→∞ ApEn(m,r)=lim[Bm(r)−Bm+1(r)]，N→∞
对于实际的序列，NNN 不可能趋近无穷大，因此近似熵可表示为：
ApEn(m,r,N)=Bm(r)−Bm+1(r)ApEn(m,r,N)=B^{m}(r)-B^{m+1}(r) ApEn(m,r,N)=Bm(r)−Bm+1(r)
近似熵本质上是一个关于序列和参数的统计值，它的大小与数据长度 NNN 、嵌入维数 mmm 和相似容限 rrr 有关。为了得到较好的统计特性以及较小的误差，数据长度NNN 通常在100～5000 取值，嵌入维数 mmm 一般取 1 或 2，相似容限 rrr 取(0.1～0.25)*stdstdstd，stdstdstd 为序列的标准差。

3.MATLAB代码

% 主程序
clc;
clear;
close all;%% 产生仿真信号
fs = 1000; % 数据采样率
t = (0:1/fs:(1-1/fs));          % 时间
x = cos(50*pi*t+sin(5*pi*t));   % 数据%% 画图
figure;
plot(t,x);
xlabel('t/s');ylabel('幅值');title('信号的时域波形');%% 求仿真信号x的近似熵
m = 2;                                  % 嵌入维数
r0 = 0.2;                               % 相似容限的系数
r = r0*std(x);                          % 相似容限
appEn = ApproximateEntropy(m,r,x);   % 近似熵

% 求近似熵的函数
function appEn = ApproximateEntropy(dim, r, data, tau)
%   近似熵算法的提出者：Pincus S M . Approximate entropy as a measure of system complexity[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences ,1991,88(6):2297—2301.
%   Input:
%       dim：嵌入维数(一般取1或者2)
%       r：相似容限( 通常取0.1*Std(data)~0.25*Std(data) )
%       data：时间序列数据，data须为1xN的矩阵
%       tau：下采样延迟时间（在默认值为1的情况下，用户可以忽略此项）
%   Output:
%       appEn：所求数据的近似熵
if nargin < 4tau = 1;
end
if tau > 1data = downsample(data, tau);
endN = length(data);
result = zeros(1,2);for m = dim:dim+1Bi = zeros(N-m+1,1);dataMat = zeros(N-m+1,m);% 设置数据矩阵，构造成m维的矢量for i = 1:N-m+1dataMat(i,:) = data(1,i:i+m-1);end% 利用距离计算相似模式数for j = 1:N-m+1% 计算切比雪夫距离，包括自匹配情况dist = max(abs(dataMat - repmat(dataMat(j,:),N-m+1,1)),[],2);% 统计dist小于等于r的数目D = (dist <= r);% 包括自匹配情况Bi(j,1) = sum(D)/(N-m+1);end% 求所有Bi的均值result(m-dim+1) = sum(log(Bi))/(N-m+1);end
% 计算得到的近似熵值
appEn = result(1)-result(2);end

参考文献

[1] 近似熵理论相关知识与代码实现
[2] Pincus S M . Approximate entropy as a measure of system complexity[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences ,1991,88(6):2297—2301.