catalan 数。。
性质
令h(0)=1,h(1)=1,catalan数满足递归式:
h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2),这是n阶递推关系;
编程代码可以转化成:
for(j=0;j<=i-1;j++)
{
f[i]+=f[j]*f[i-j-1];
}
还可以化简为1阶递推关系: 如h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1)(n>1) h(0)=1 该递推关系的解为: h(n)= C(2n,n)/(n+1)=P(2n,n)/(n+1)!=(2n)!/(n!*(n+1)!) (n=1,2,3,...) 卡 塔兰数例的前几项为(sequence A 0 0 0 1 0 8 in OEIS) [注: n = 0, 1, 2, 3, … n] 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …
应用
我并不关心其解是怎么求出来的,我只想知道怎么用catalan数分析问题。 我总结了一下,最典型的三类应用:(实质上却都一样,无非是递归等式的应用,就看你能不能分解问题写出递归式了) 1.括号化问题。 矩阵链乘: P=a0×a1×a2×a3×……×an,共有(n+1)项,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?(h(n)种) 类似题目:有N个节点的二叉树共有多少种情形? 2.出栈次序问题。 一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列? 类似题目:有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈) * * * * * * * * * * * * * * * 形如这样的直角三角形网格,从左上角开始,只能向右走和向下走,问总共有多少种走法? 问题的由来:编号为 1 到 n 的 n 个元素,顺序的进入一个栈,则可能的出栈序列有多少种? 对问题的转化与思考:n 个元素进栈和出栈,总共要经历 n 次进栈和 n 次出栈。这就相当于对这 2n 步操作进行排列。 一个模型:一个 n*n 的正方形网格,从左上角顶点到右下角顶点,只能向右走和向下走。问共有多少种走法。如果将向右走对应上述问题的进栈,向下走对应上述问题的出栈,那么,可 以视此模型为对上述问题的具体描述。而解决此问题,只要在总共从左上角到右下角的2n步中,选定向右走的步数,即共有C(n 2n)中走法。 但是存在一个问题,如果走法越过了对角线,那么对应到上述问题是出栈数比入栈数多,这是不符合实际的。 对以上模型进行处理,对角线将以上正方形网格分成两部分,只留下包含对角线在内的下半部分,那么就不会出现越过对角线的问题。而这问题就是开始提出的问题。 ------------------------------------------------------- 问题等价于:n个1和n个0组成一2n位的2进制数,要求从左到右扫描,1的累计数不小于0的累计数,试求满足这条件的数有多少? 解答: 设P2n为这样所得的数的个数。在2n位上填入n个1的方案数为 C(n 2n) 不填1的其余n位自动填以数0。从C(n 2n)中减去不符合要求的方案数即为所求。 不合要求的数指的是从左而右扫描,出现0的累计数超过1的累计数的数。 不合要求的数的特征是从左而右扫描时,必然在某一奇数2m+1位上首先出现m+1个0的累计数,和m个1的累计数。 此 后的2(n-m)-1位上有n-m个1,n-m-1个0。如若把后面这部分2(n-m)-1位,0与1交换,使之成为n-m个0,n-m-1个1,结果得 1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数,即一个不合要求的数对应于一个由n-1个0和n+1个1组成的一个排列。 反过来,任何一个 由n+1个0,n-1个1组成的2n位数,由于0的个数多2个,2n是偶数,故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面的部分,令0 和1互换,使之成为由n个0和n个1组成的2n位数。即n+1个0和n-1个1组成的2n位数,必对应于一个不合要求的数。 用上述方法建立了由n+1个0和n-1个1组成的2n位数,与由n个0和n个1组成的2n位数中从左向右扫描出现0的累计数超过1的累计数的数一一对应。 例如 10100101 是由4个0和4个1组成的8位2进制数。但从左而右扫描在第5位(显示为红色)出现0的累计数3超过1的累计数2,它对应于由3个1,5个0组成的10100010。 反过来 10100010 对应于 10100101 因而不合要求的2n位数与n+1个0,n-1个1组成的排列一一对应,故有 P2n = C(n 2n)— C(n+1 2n) 这个结果是一个“卡塔兰数”Catalan 3.将多边行划分为三角形问题。 将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数? 类似题目:一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果他 从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路?
类似题目:在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
转自百度百科。。
hdu 1023 1130 1134..
catalen数+大数。
下面是转载某个大牛写的不错的代码:
#include <iostream>
using namespace std;
#define SIZE 100
int main()
{int a[101][SIZE]={0}; //数组用来存放结果a[1][0]=1; //初始化第一项 int i,j,r=0,temp=0,len=1; //len 表示当前最长的有效位数,初始为1for(i=2;i<=100;i++) //从第二项到第100项,用公式计算{for(j=0;j<len;j++) //---------------乘法部分------------------{a[i][j]=a[i-1][j]*(4*i-2); //乘法从低位到高位}for(j=0;j<len;j++) //对乘出的结果进行处理,不包括最高位{temp=a[i][j]+r;a[i][j]=temp%10;r=temp/10;}while(r) //对最高位进位处理{a[i][len]=r%10;r/=10;len++;} //-----------------除法部分-----------------for(j=len-1,r=0;j>=0;j--){ //除法从高位到低位temp=r*10+a[i][j];a[i][j]=temp/(i+1);r=temp%(i+1);}while(!a[i][len-1]) //处理高位的零位len--;} //-------------------------------------------int n;while(cin>>n&&n!=-1){for(i=SIZE-1;!a[n][i];i--);for(i;i>=0;i--)cout<<a[n][i];cout<<endl;}return 0;
}
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