Catalan数推导(转载)
Raney引理:
设整数序列A = {Ai, i=1, 2, …, N},且部分和Sk=A1+…+Ak,序列中所有的数字的和SN=1,在A的N个循环表示中,有且仅有一个序列B,满足B的任意部分和Si均大于零。
Raney引理有一个很简单的数形结合的证明见《浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用》。
关于Catalan数wiki和百科上写的很详细,其中有一问题一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,…,n,有多少个不同的出栈序列?该问题的解为h(n)。
用1表示一个数字进栈,-1表示一个数字出栈,不难看出该问题的解等价于一个含n个1和n个-1的序列,并且满足其任意前缀和大于等于0的排列数。但是这个序列与我们Raney引理要求序列不太相同,所以我们给这个序列多加一个1,即(n+1)个1和n个-1的序列A{2n+1},现在我们可以应用Raney引理了,A{2n+1}所有可能的排列总数为C(2n+1,n),而循环不同构的串是组合数的一个划分,再根据Raney引理可知在一个循环同构的等价类中,只有一个串满足任意前缀和大于零,所以满足条件的排列数为C(2n+1, n)/(2n+1),而由于任意前缀和大于0,所以第一位只能是1而不是-1,所以又可以得出除去第一位后,满足任意前缀和大于>=0的A{2n}序列总数也为C(2n+1, n)/(2n+1) = C(2n, n)/(n+1),这个便是Catalan的通项公式。
转载于:https://www.cnblogs.com/Mathics/p/3874441.html
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