梯度下降算法学习笔记

内容来自于斯坦福大学《机器学习与数据挖掘公开课》。

介于算法中用到了许多线性代数的知识。所以我感觉有必要先对线性代数的基础知识做一个回顾和梳理。

1基础概念和记号

线性代数对于线性方程组可以提供一种简便的表达和操作方式，例如对于如下的方程组：

4x1-5x2=13

-2x1+3x2=-9

可以简单的表示成下面的方式：

X也是一个矩阵，为(x1,x2)T，当然你可以看成一个列向量。

1.1基本记号

用A ∈表示一个矩阵A，有m行，n列，并且每一个矩阵元素都是实数。

用x ∈ , 表示一个n维向量. 通常是一个列向量. 如果要表示一个行向量的话，通常是以列向量的转置（后面加T）来表示。

1.2向量的内积和外积

根据课内的定义，如果形式如xT y，或者yT x，则表示为内积，结果为一个实数，表示的是：，如果形式为xyT，则表示的为外积:。

1.3矩阵-向量的乘法

给定一个矩阵A ∈ Rm×n，以及一个向量x ∈ Rn，他们乘积为一个向量y = Ax ∈ Rm。也即如下的表示：

如果A为行表示的矩阵（即表示为），则y的表示为：

相对的，如果A为列表示的矩阵，则y的表示为：

即：y看成A的列的线性组合，每一列都乘以一个系数并相加，系数由x得到。

同理，

yT=xT*A表示为：

yT是A的行的线性组合，每一行都乘以一个系数并相加，系数由x得到。

1.4矩阵-矩阵的乘法

同样有两种表示方式:

第一种：A表示为行，B表示为列

第二种，A表示为列，B表示为行：

本质上是一样的，只是表示方式不同罢了。

1.5矩阵的梯度运算（这是老师自定义的）

定义函数f，是从m x n矩阵到实数的一个映射，那么对于f在A上的梯度的定义如下：

这里我的理解是，f（A）=关于A中的元素的表达式，是一个实数，然后所谓的对于A的梯度即是和A同样规模的矩阵，矩阵中的每一个元素就是f(A)针对原来的元素的求导。

1.6其他概念

因为篇幅原因，所以不在这里继续赘述，其他需要的概念还有单位矩阵、对角线矩阵、矩阵转置、对称矩阵（AT=A）、反对称矩阵（A=-AT）、矩阵的迹、向量的模、线性无关、矩阵的秩、满秩矩阵、矩阵的逆（当且仅当矩阵满秩时可逆）、正交矩阵、矩阵的列空间(值域)、行列式、特征向量与特征值……

2用到的公式

在课程中用到了许多公式，罗列一下。嗯，部分公式的证明很简单，部分难的证明我也不会，也懒得去细想了，毕竟感觉上数学对于我来说更像是工具吧。

转置相关：

• (AT)T = A
• (AB)T = BT AT
• (A + B)T = AT + BT

迹相关：

• For A ∈ Rn×n, trA = trAT .
• For A, B ∈ Rn×n, tr(A + B) =trA + trB.
• For A ∈ Rn×n, t ∈ R, tr(tA) = t trA.
• For A, B such that AB issquare, trAB = trBA.
• For A, B, C such that ABC issquare, trABC = trBCA = trCAB。当乘法变多时也一样，就是每次从末尾取一个矩阵放到前面去，这样的矩阵乘法所得矩阵的迹是一致的。

秩相关

• For A ∈ Rm×n,rank(A) ≤ min(m, n). If rank(A) = min(m, n), 则A称为满秩
• For A ∈ Rm×n,rank(A) = rank(AT).
• For A ∈ Rm×n, B ∈ Rn×p,rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B)).
• For A, B ∈ Rm×n,rank(A + B) ≤ rank(A) +rank(B).

逆相关：

• (A−1)−1 = A
• If Ax = b, 左右都乘以A−1 得到 x = A−1b.
• (AB)−1 = B−1A−1
• (A−1)T = (AT)−1. F通常表示为A−T.

行列式相关：

• For A ∈ Rn×n, |A| = |AT |.
• For A, B ∈ Rn×n, |AB| = |A||B|.
• For A ∈ Rn×n, |A| = 0，表示矩阵A是奇异矩阵，不可逆矩阵
• For A ∈ Rn×n and A 可逆, |A|−1 = 1/|A|.

梯度相关：

• ∇x(f(x) + g(x)) = ∇xf(x) + ∇xg(x).
• For t ∈ R, ∇x(t f(x)) = t∇xf(x).

• ∇xbT x = b
• ∇xxT Ax = 2Ax (if A 对称)
• ∇2xxT Ax = 2A (if A 对称)

• ∇A|A| =(adj(A))T = |A|A−T . adj=adjoint

3梯度下降算法和正规方程组实例应用

例子用的是上节课的房价的例子，有一组数据，有房子面积和房子价格，输入格式举例：

老师定义的变量如下：

m:训练样本的数目

x：输入的变量（输入的特征，在这个例子中为房子面积，后来又加了一个房子的卧室数目）

y :输出变量（目标变量，这个例子中就是房价）

(x,y)：表示的是一个样本

：表示的第i个样本，表示为。

3.1监督学习概念

所谓的监督学习即为告诉算法每个样本的正确答案，学习后的算法对新的输入也能输入正确的答案。监督指的是在训练样本答案的监督下，h即为监督学习函数。

此例中我们假设输出目标变量是输入变量的线性组合，也就是说，我们的假设是存下如下的h（x）：

Theta表示是特征前面的参数（也称作特征权重）。也就是经过h(x)之后得到的就是预测的结果了。

如果假设x0=1，那么原来的h(x)就可以简单的表示为如下形式：

，其中n为特征数目，我们为了表达简便，把theta和x都写成向量的形式。下面就是如何求出θ（向量）使得h(x)尽可能接近实际结果的,至少在训练集内接近训练集中的正确答案。

我们定义一个花费函数(costfunction)，针对每一组θ，计算出h(x)与实际值的差值。定义如下：

这也是用的最小二乘法的思想，但是之所以乘以1/2是为了简化后面的计算。针对训练集中的每一组数据。剩下的问题就是求得minJ（θ）时的θ取值，因为J(θ)是随着θ变化而变化，所以我们要求得minJ（θ）时的θ就是我们想要的θ（这个min也叫做最小花费函数)，怎么样求出这组theta呢？采用的方法就是梯度下降算法和正规方程组。我们首先来看梯度下降算法。

3.2梯度下降算法

梯度下降算法是一种搜索算法，基本思想可以这样理解：我们从山上的某一点出发，找一个最陡的坡走一步（也就是找梯度方向），到达一个点之后，再找最陡的坡，再走一步，直到我们不断的这么走，走到最“低”点（最小花费函数收敛点）。

如上图所示，x,y表示的是theta0和theta1，z方向表示的是花费函数，很明显出发点不同，最后到达的收敛点可能不一样。当然如果是碗状的，那么收敛点就应该是一样的。

算法的theta更新表示如下：

对每一个theta(j),都先求J(θ)对theta(j)的偏导(梯度方向)，然后减少α，然后将现在的theta(j)带入，求得新的theta(j)进行更新。其中α为步长，你可以理解为我们下山时走的步子的大小。步子太小了，收敛速度慢，步子太大了，可能会在收敛点附近来回摆动导致无法到达最低点。P.S.这个符号根据老师所说理解为程序中的赋值符号(=号)，如果是=号，则理解为值是相等的(编程里面的==号)。

下面我们先理解下，假设现在训练集只有一组数据求关于theta(j)的偏导：

带入可以得到关于一组数据的theta(j)的表达式，不妨，这组数据就是第i组，则表示为：

然后我们将这个更新theta(j)的方法扩充到m个训练样本中，就可以得到下面的式子：

P.S.最外面的那个xj(i)的理解为：第i组数据中的第j个特征(feature)值。

3.2.1批量梯度下降算法（batch gxxxx dxxxx algorithm）

重复执行上面的这个更新步骤，直到收敛，就可以得到这组θ的值了。就是这个过程：

。

这个算法就是批量梯度下降算法，为什么叫批量梯度下降？因为注意到上式中每更新一个θj都需要计算所有的样本取值，所以当样本数目非常大的时候(例如上万条甚至数十万条的时候)，这样的更新非常慢，找θ也非常慢，所以就有了另外一种改进的梯度下降算法。

3.2.2随机梯度下降算法/增量梯度下降算法

做一个小小的改进，用一个样本theta的更新。这种方法的好处是速度上肯定比批量梯度下降算法快，而且样本数据越多，体现应该就越明显。劣势是得到的收敛点的值和批量梯度算法比起来也许不是最优的值。

3.2.3梯度下降算法总结

不管是批量梯度算法还是随机梯度下降算法，他们的共同点有以下：

1.时间复杂度都是O(mn) (m为样本数目，n为特征值/影响因子数目)

2.都有梯度下降性质：接近收敛时，每次“步子”（指实际减去的数，而不是前面定义的α，α是手动设置参数，人为改变才会变）会越来越小。其原因是每次减去α乘以梯度，但是随着收敛的进行，梯度会越来越小，所以减去的值会。

3.判定收敛的方法都是如下两种:

1)两次迭代值改变量极小极小

2)J(θ)的值改变量极小极小

3.3正规方程组

写在前面：这种方法是另一种方法了，和梯度下降算法就没啥联系了！！！！！！

首先回顾下前面定义的矩阵梯度运算：

例如:

则：

定义一个矩阵，称作设计矩阵，表示的是所有的样本的输入：

因为前面得到的结论：（θT*x(i)和x(i)的转置*θ结果是一样），可以得到可以写成如下的形式：

又因为对于任意向量，，所以可以得到：

运用下面介绍的一系列性质：

（5）是由(2)和(3)得到的，进行下面的推导

中间加tr不变的原因是因为是一个实数(看成1x1矩阵)加迹等于他本身。

将上式设为0，得到正规方程组

求解得到

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