AVL树添加节点后的平衡操作（一）逻辑分析：左旋、右旋、双旋（超详细图解）

AVL树

AVL树是最早发明的自平衡二叉搜索树之一，其名字来源于两位发明它的科学家G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis（来自苏联的科学家）。

AVL树的特点

AVL树中的每个节点都有一个平衡因子（Balance Factor），即左右子树高度之差。AVL树的特点如下：

每个节点的平衡因子只可能是 1、0、-1（绝对值 ≤ 1，如果超过 1，称之为“失衡“）
每个节点的左右子树高度差不超过1
搜索、添加、删除的时间复杂度是O(logn)

在AVL树中添加节点

假如我们对下面这棵AVL树中插入17。

那么插入后的结果因应该如下所示。

此时可以很明显的发现，节点14左右子树的高度差为-2了（绝对值大于1），也就是说节点14失衡了。此外，失衡的状态还在向上蔓延，节点18也失衡了，但节点10并没有失衡。而对于17的父节点16也没有失衡，事实上，新插入节点的父节点（只是父节点，不包括其他祖先节点）永远不可能失衡。这是因为在插入之前父节点16一定处于平衡状态，即使它的左子树不像图中一样为空，左子树的高度最大也只能为1,否则就失衡了。而对于新插入节点的非祖先节点（如节点10左子树中的所有节点），由于他们平衡因子的计算与新节点无关，所以也不可能失衡。至此我们可以得出结论：

父节点、非祖先节点不可能失衡。
除父节点外的所有祖先节点都可能失衡。

失衡后的调整操作

既然添加节点后导致了一系列节点的失衡，但AVL树并不能允许失衡节点的存在，所以我们势必要对这棵AVL树进行调整，但进行的调整也不能太大动干戈，尝试用尽量的调整使树回到平衡状态，否则就失去了降低复杂度的初衷。

1.右旋操作

在AVL树中，采用左旋或者右旋的操作对失衡的节点进行调整。该方法的思路是：由于失衡的一系列节点只能可能是插入节点的祖父节点或祖祖…父节点，我们可以从插入节点出发，一路向上找到第一个失衡的祖先节点，然后对以该节点为根节点的二叉树进行左旋或者右旋（也可能进行两次）调整，将其调整为平衡状态，并将高度恢复至与原来相同，那么该节点已恢复平衡，且更上层的祖先节点由于其高度与原来一致，于是也恢复到了平衡状态。

下次用一个例子来演示一下右旋操作。

1.下面的AVL树，由于新插入节点-8而导致了节点4（第一个失衡的祖先节点）和10失衡了，但我们只需考虑第一个失衡的祖先节点，即4。

2.由于新增节点在节点4左子树的左子树，在此我们将这种情况记为LL，而对于LL我们就需要进行右旋操作。如下所示。

3.将线条拉直后。

4.此时节点4成为了它原来左节点1的右节点，并获得了节点1的右子树作为它的左子树，且该节点1成为了子树新的根节点。可以发现，节点4已经恢复平衡，且右旋前以4为根节点的子树与现在以1为根节点的子树高度相同，也是说，更高层的祖父节点也恢复了平衡，整棵树的平衡也得以恢复了。

5.那么为什么右旋操作可以将LL的情况恢复平衡呢？原因是：既然是左侧的左侧（LL情况)高度增加导致的失衡，那么我们假设增加节点前第一个祖父节点左子树的高度是h，那么增加后左子树高度为h+1，又产生了失衡，则可知右子树的高度一定是h-1，如下所示。

此时进行右旋操作，相当于把原子树头节点4下放为右节点，将原左节点1上移为根节点，相对于原来的子树（以4为根节点）而言，相当于左子树向上抬了一个台阶，右子树下移了一个台阶，导致两边的高度都回到了h，且整棵子树仍保留着满足二叉搜索树的顺序。

2.左旋操作

左旋操作显然是RR的情况，除了方向相反，其他于右旋完全相同。

1.如在下面这棵树中插入35。

显然新增节点在失衡节点的右子树的右子树，是RR的情况，需要进行左旋。

3.将线条拉直后可以发现，整棵树恢复平衡了。

3.双旋操作-RL情况（右旋+左旋）

刚才讨论了LL于RR的情况，那么如果出现LR或是RL呢？还是分别举例说明。

1.下面这棵树显然就是RL的情况，新增节点在第一个失衡节点的左子树的右子树。这种情况下，为了更加清晰，我们可以将失衡节点记为g(grandParent)、新增节点所在一侧失衡节点的子节点记为p（parent)、新增节点所在一侧p的子节点记为n(node)。标记如下所示。

2.此时我们可以对节点p进行一次右旋，显然通过刚才推导我们知道，右旋操作会让进行右旋的节点的左子树高度减1，而右子树高度加1。而由于添加节点导致了失衡，p的左子树高度是一定高于右子树，且p并不是第一个失衡的节点（从下往上寻找），所以p一定平衡，所以此时右子树的高度只比左子树少1。那么对p进行右旋操作后，可以预见右侧的高度将比左侧高1，且情况转化为了RR，如下图所示。

3.此时我们可以发现的确转换为了RR的情况。

4.再在对g进行左旋操作，AVL树就恢复平衡了。

4.双旋操作-LR情况（左旋+右旋）

LR情况的旋转顺序正好与RL相反，需要先左旋再右旋。示例如下。

1.新增节点16造成LR的失衡情况。

对节点p进行左旋操作。

再对节点g右旋。

此时AVL树恢复平衡。