2020年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

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A题   炉温曲线

在集成电路板等电子产品生产中，需要将安装有各种电子元件的印刷电路板放置在回焊炉中，通过加热，将电子元件自动焊接到电路板上。在这个生产过程中，让回焊炉的各部分保持工艺要求的温度，对产品质量至关重要。目前，这方面的许多工作是通过实验测试来进行控制和调整的。本题旨在通过机理模型来进行分析研究。(bk1)

回焊炉内部设置若干个小温区，它们从功能上可分成4个大温区：预热区、恒温区、回流区、冷却区（如图1所示）。电路板两侧搭在传送带上匀速进入炉内进行加热焊接。

图1  回焊炉截面示意图

某回焊炉内有11个小温区及炉前区域和炉后区域（如图1），每个小温区长度为30.5 cm，相邻小温区之间有5 cm的间隙，炉前区域和炉后区域长度均为25 cm。

回焊炉启动后，炉内空气温度会在短时间内达到稳定，此后，回焊炉方可进行焊接工作。炉前区域、炉后区域以及小温区之间的间隙不做特殊的温度控制，其温度与相邻温区的温度有关，各温区边界附近的温度也可能受到相邻温区温度的影响。另外，生产车间的温度保持在25ºC。

在设定各温区的温度和传送带的过炉速度后，可以通过温度传感器测试某些位置上焊接区域中心的温度，称之为炉温曲线（即焊接区域中心温度曲线）。附件是某次实验中炉温曲线的数据，各温区设定的温度分别为175ºC（小温区1~5）、195ºC（小温区6）、235ºC（小温区7）、255ºC（小温区8~9）及25ºC（小温区10~11）；传送带的过炉速度为70 cm/min；焊接区域的厚度为0.15 mm。温度传感器在焊接区域中心的温度达到30ºC时开始工作，电路板进入回焊炉开始计时。

实际生产时可以通过调节各温区的设定温度和传送带的过炉速度来控制产品质量。在上述实验设定温度的基础上，各小温区设定温度可以进行ºC范围内的调整。调整时要求小温区1~5中的温度保持一致，小温区8~9中的温度保持一致，小温区10~11中的温度保持25ºC。传送带的过炉速度调节范围为65~100 cm/min。

在回焊炉电路板焊接生产中，炉温曲线应满足一定的要求，称为制程界限（见表1）。(rsc1s)

表1   制程界限

请你们团队回答下列问题：

问题1  请对焊接区域的温度变化规律建立数学模型。假设传送带过炉速度为78 cm/min，各温区温度的设定值分别为173ºC（小温区1~5）、198ºC（小温区6）、230ºC（小温区7）和257ºC（小温区8~9），请给出焊接区域中心的温度变化情况，列出小温区3、6、7中点及小温区8结束处焊接区域中心的温度，画出相应的炉温曲线，并将每隔0.5 s焊接区域中心的温度存放在提供的result.csv中。(spm1)

问题2  假设各温区温度的设定值分别为182ºC（小温区1~5）、203ºC（小温区6）、237ºC（小温区7）、254ºC（小温区8~9），请确定允许的最大传送带过炉速度。(spm1’)

问题3  在焊接过程中，焊接区域中心的温度超过217ºC的时间不宜过长，峰值温度也不宜过高。理想的炉温曲线应使超过217ºC到峰值温度所覆盖的面积（图2中阴影部分）最小。请确定在此要求下的最优炉温曲线，以及各温区的设定温度和传送带的过炉速度，并给出相应的面积。(spm1’’)

图2  炉温曲线示意图

问题4  在焊接过程中，除满足制程界限外，还希望以峰值温度为中心线的两侧超过217ºC的炉温曲线应尽量对称（参见图2）。请结合问题3，进一步给出最优炉温曲线，以及各温区设定的温度及传送带过炉速度，并给出相应的指标值。(spm1’’’)

点评：

此题难度不大，不过是那种很典型的国赛考题，条件明确，机理清楚，基本上顺藤摸瓜就能找到答案，发挥空间不大，但是也很考察队伍的数学建模基本功。

各个问题中，第1题是基本的过程函数的求解，用到机理分析，后面都是在这个基础之上求值，本质上都是求解某个优化问题的解，以决策变量作为答案。那这样其实就很清晰了，我们用函数建模法来理解一遍：

X：温区温度设定值ts；传送速度v；

Para：车间温度25度，小温区长度，间隔长度，焊接厚度等；

Y：炉温曲线及其上特性；

F：根据空间内各个位置的温度设定，计算空间内传送带经过地点的温度变化规律；再加上传送速度对应的每个时刻对应的位置，即为所求。（假定传送内容很小，对温度没有影响）

Restriction：炉温曲线特性要求，见表格；

值得一提的是，本题的因变量Y是一个函数，那数值到函数的函数，我们往往称为函数族，例如指数分布函数族。不过这都不重要了，没什么难理解的，我们其实优化的目标也是Y的某些特性，要再作用一个泛函，因此最后还是个普通数值函数了。

问题1的机理，可以用热力学公式假定空气的热传导系数等，机理计算空间内平衡以后每个位置的温度值；当然直接利用插值公式，核方法来学习计算，也未尝不可。

问题2，给的限制条件是关于Y的，温度设定ts值不许动，仅调锅炉速度为决策变量v，满足Y上的表格里的要求，这里把对应的数学含义翻译清楚就行，解不等式，或者网格穷举一下，应该就能得到解了。

问题3，增加了ts也是决策变量，同时在问题2中对炉温曲线的限定下，去求超过217度部分的面积的最小的优化问题，最小面积和对应的解（ts，v）都需要求，这里感觉可以用控制变量法求解最值，因为每个因素都是相对独立影响结果的。

问题4，对217度以上部分的对称性的优化，这里终于涉及到一个需要自己根据实际描述写优化目标的情况了，比如可以是217度以上图形沿着某线对折以后，不重合部分面积和总面积比的最小值，即为我们要优化的对称性指标，越小表示从形状上看越对称，当然，对于面积也可以采用更高阶次的积分来表明对局部毛刺的重视。另外，是否这里仍然要考虑部分问题3的目标也可以作为分析写入。

整体上看，本题思路很清楚，稳扎稳打会是个不错的体现实力的题目，大家加油！