[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.26

需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html

设 $f(x)$ 是 $[-\pi,\pi]$ 上的凸函数, $f'(x)$ 有界. 求证: $$\bex a_{2n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos 2nx\rd x\geq 0;\quad a_{2n+1}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos (2n+1)x\rd x\leq 0. \eex$$

证明: $$\beex \bea a_{2n}&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos 2nx\rd x =\frac{1}{2n}\int_{-\pi}^\pi f(x)\rd \sin 2nx\\ &=-\frac{1}{2n}\int_{-\pi}^\pi f'(x)\sin 2nx\rd x =-\frac{1}{(2n)^2} \int_{-2n\pi}^{2n\pi} f'\sex{\frac{t}{2n}} \sin t\rd t\\ &=-\frac{1}{(2n)^2}\sum_{k=-n}^{n-1}\sez{ \int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi} +\int_{(2k+1)^\pi}^{(2k+2)\pi} f'\sex{\frac{t}{2n}}\sin t\rd t }\\ &=-\frac{1}{(2n)^2}\sum_{k=-n}^{n-1} \int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}\sez{f'\sex{\frac{t}{2n}}-f'\sex{\frac{t+\pi}{2n}}}\sin t\rd t\\ &\geq 0, \eea \eeex$$ 最后一步是因为 $$\bex -2n\pi \leq t\leq (2n-1)\pi \ra -\pi \leq \frac{t}{2n}\leq \pi -\frac{\pi}{2n} \ra -\pi \leq \frac{t}{2n} \leq \frac{t+\pi}{2n}\leq \pi \eex$$ 及 $f$ 的凸性 $\ra\ f'$ 单调递增. 同理, $$\bex a_{2n+1}=-\frac{1}{(2n+1)^2}\sum_{k=-n-1}^{n-1} \int_{(2k+1)\pi}^{(2k+2)\pi} \sez{f'\sex{\frac{t}{2n+1}}-f'\sex{\frac{t+\pi}{2n+1}}}\sin t\rd t\leq 0, \eex$$ 这里, 我们还需注意 $(2k+1)\pi \leq x\leq (2k+2)\pi\ra \sin x\leq 0$.

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.26相关推荐

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.5
证明: 若删去调和级数中所有分母含有数字 $9$ 的项, 则新级数收敛, 且和小于 $80$. 证明: 对 $m=1,2,\cdots$, $[10^{m-1},10^m)$ 中的自然数的十进制表示中 ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.8
需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html 设 $f(x)$ 在 $[a,\infty)$ 上可微; 且 $x\to\inf ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.20
设 $a>0$, 函数 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续可微, 证明: $$\bex |f(0)|\leq \frac{1}{a}\int_0^a |f(x)|\rd x+\int_0^ ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.21
设数 $a>0$, $\sed{p_n}$ 是一个数列, 并且 $p_n>0$, $p_{n+1}\geq p_n$. 证明: 级数 $$\bex \vsm{n}\frac{p_n-p_{ ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.13
证明: 如果在 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续函数 $f(x)$ 满足 $$\bex \int_x^{x+1}f(x)\rd t=0, \eex$$ 那么 $f(x)$ 是周期函数. ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.27
求 $\dps{\lim_{t\to +\infty}\sex{\frac{1}{t} +\frac{2t}{t^2+1^2}+\frac{2t^2}{t^2+2^2}+\cdots+\frac{2t ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.23
设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(x)>0$. 又 $\dps{F(x)=\int_a^x f(t)\rd t+\int_b^x \frac{1}{f(t)}\rd t} ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.15
$[a,b]$ 上的连续函数列 $\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_n,\cdots$ 满足 $\dps{\int_a^b \varphi_n^2(x)\rd x= ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.3
求 $\dps{\int_0^\infty f(x^p+x^{-p}) \frac{\ln x}{1+x^2}\rd x}$ (函数 $f(x)$ 连续) 解答: $$\beex \bea \mbox ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.14
设 $f(x)$ 处处连续, $\dps{F(x)=\frac{1}{2\delta}\int_{-\delta}^\delta f(x+t)\rd t}$, 其中 $\delta$ 为任何正数. 证 ...

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.26

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.26相关推荐

最新文章

热门文章