数学基础

拉普拉斯算子，二阶微分线性算子，为什么上来就学二阶微分算子，前文说过，与一阶微分相比，二阶微分的边缘定位能力更强，锐化效果更好，所以我们来先学习二阶微分算子，使用二阶微分算子的基本方法是定义一种二阶微分的离散形式，然后根据这个形式生成一个滤波模板，与图像卷积。

各向同性滤波器，图像旋转后响应不变，这就要求滤波模板自身是对称的，如果不对称，结果就是，当原图旋转90°时，原图某一点能检测出细节（突变）的，现在却检测不出来，这就是各向异性的原因。我们更关心的是各向同性滤波模板，对图像的旋转不敏感。

对于二维图像f(x,y)，二阶微分最简单的定义--拉普拉斯算子定义为：

对于任意阶微分算子都是线性算子，所以二阶微分算子和后面的一阶微分算子都可以用生成模板然后卷积的方式得出结果。

根据前面对二阶微分的定义有：

根据上面的定义，与拉普拉斯算子的定义相结合，得到：

也就是一个点的拉普拉斯的算子计算结果是上下左右的灰度的和减去本身灰度的四倍。同样，可以根据二阶微分的不同定义，所有符号相反，也就是上式所有灰度值全加上负号，就是-1，-1，-1，-1，4。但要注意，符号改变，锐化的时候与原图的加或减应当相对变化。上面是四邻接的拉普拉斯算子，将这个算子旋转45°后与原算子相加，就变成八邻域的算子了，也就是一个像素周围一圈8个像素的和与中间像素8倍的差，作为拉普拉斯计算结果。

因为要强调图像中突变（细节），所以平滑灰度的区域，无响应，即模板系数的和为0，也是二阶微分必备条件。

最后的锐化公式：

g是输出，f为原始图像，c是系数，也就是要加上多少细节的多少。

由于拉普拉斯算子是最简单的各向同性微分算子，它具有旋转不变性。一个二维图像函数的拉普拉斯变换是各向同性的二阶导数，定义为：

用更加形象的图像来解释,假设我们有一张一维图形。下图(a)中灰度值的”跃升”表示边缘的存在.如果使用一阶微分求导我们可以更加清晰的看到边缘”跃升”的存在(这里显示为高峰值)图（b); 如果在边缘部分求二阶导数会出现什么情况?,图(c)所示。(其图片和定义公式来源于http://www.opencv.org.cn/opencvdoc/2.3.2/html/doc/tutorials/imgproc/imgtrans/laplace_operator/laplace_operator.html)。

(a) (b)

(c)

你会发现在一阶导数的极值位置，二阶导数为0。所以我们也可以用这个特点来作为检测图像边缘的方法。但是，二阶导数的0值不仅仅出现在边缘(它们也可能出现在无意义的位置),但是我们可以过滤掉这些点。

为了更适合于数字图像处理，将该方程表示为离散形式：

另外，拉普拉斯算子还可以表示成模板的形式，以便更好编程需要。如图1所示。

图1（a）表示离散拉普拉斯算子的模板，图1（b）表示其扩展模板，图1（c）则分别表示其他两种拉普拉斯的实现模板。从模板形式容易看出，如果在图像中一个较暗的区域中出现了一个亮点，那么用拉普拉斯运算就会使这个亮点变得更亮。因为图像中的边缘就是那些灰度发生跳变的区域，所以拉普拉斯锐化模板在边缘检测中很有用。一般增强技术对于陡峭的边缘和缓慢变化的边缘很难确定其边缘线的位置。但此算子却可用二次微分正峰和负峰之间的过零点来确定，对孤立点或端点更为敏感，因此特别适用于以突出图像中的孤立点、孤立线或线端点为目的的场合。同梯度算子一样，拉普拉斯算子也会增强图像中的噪声，有时用拉普拉斯算子进行边缘检测时，可将图像先进行平滑处理。

图像锐化处理的作用是使灰度反差增强，从而使模糊图像变得更加清晰。图像模糊的实质就是图像受到平均运算或积分运算，因此可以对图像进行逆运算，如微分运算能够突出图像细节，使图像变得更为清晰。由于拉普拉斯是一种微分算子，它的应用可增强图像中灰度突变的区域，减弱灰度的缓慢变化区域。因此，锐化处理可选择拉普拉斯算子对原图像进行处理，产生描述灰度突变的图像，再将拉普拉斯图像与原始图像叠加而产生锐化图像。拉普拉斯锐化的基本方法可以由下式表示：

这种简单的锐化方法既可以产生拉普拉斯锐化处理的效果，同时又能保留背景信息，将原始图像叠加到拉普拉斯变换的处理结果中去，可以使图像中的各灰度值得到保留，使灰度突变处的对比度得到增强，最终结果是在保留图像背景的前提下，突现出图像中小的细节信息。但其缺点是对图像中的某些边缘产生双重响应。

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