两轮自平衡车系统的模型构建

两轮自平衡车系统工作原理

两轮自平衡车的平衡原理来自于倒立摆模型，由于两轮自平衡车的双轮平行布置在车体的左右两端，且载人时重心在双轮轴心正上方，所以它相当于一个倒立摆，是不稳定体，车体总是要向前或向后倾倒。当检测到车体向前倾斜时，内部电机加速旋转产生一个向前的加速度，这个加速度使得在双轮轴心上方的重心向后摆动，这就抵消了车体的向前倾斜，使车体的重心回到两轮中心轴的正上方，从而在竖直方向保持平衡。这一平衡是动态的，为保持车体竖直不倒，必须不断地驱动电机前进或后退，来克服重心偏移现象，保持车体平衡。

图1 平衡车系统平衡原理图

平衡车系统力学模型

忽略空气阻力后，可以将平衡车抽象成小车和均匀质杆组成的系统，如下图所示：

图2 自平衡车系统简图图3 小车及摆杆受力分析

其中，M——小车质量 m——摆杆质量 b——小车的摩擦系数

l——摆杆的转动轴心到质心的长度 I——摆杆惯量

F——小车受力（内部电机提供） θ——摆杆与垂直向下方向的夹角

x——小车位移 φ——摆杆与垂直向上方向的夹角

1.分析小车在水平方向所受合力可得：

2.分析摆杆在水平方向所受合力可得：

3.把（2）式代入（1）式可得系统的第一个运动方程：

4.对摆杆垂直方向受力分析可得：

5.把（4）式代入（3）式可得系统的第二个运动方程：

3.平衡车系统状态空间模型

被控对象的输入力F用u表示，线性化后得到运动方程：

2.整理后得到系统状态空间表达式：

3.各物理量取以下数值，从而得到具体的状态空间模型

表1 各物理量取值

状态变量：；输入变量：；输出变量：

则状态方程和输出方程：

4.平衡车系统传递函数阵模型

由MATLAB将状态空间模型转换为传递函数模型，得到

（1）y与x1(x)之间的传递函数为：

（2）y与x3(φ)之间的传递函数为:

MATLAB程序附录：

clear;

clc;

syms I m M l b g x fai;

M=1.096;m=0.109;b=0.1;I=0.034;

l=0.25;g=9.8;

t=I*(M+m)+M*m*l^2;

A=[0,1,0,0;

0,-(I+m*l^2)*b/t,m^2*g*l^2,0;

0,0,0,1;

0,-m*l*b/t,m*g*l*(M+m)/t,0;];

B=[0;(I+m*l^2)/t;0;m*l/t;];

C=[1,0,0,0;0,0,1,0;];

D=[0;0];

G_ss=ss(A,B,C,D);%状态空间模型

G_tf=tf(G_ss); %传递函数阵模型

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