0 前言

FFT是一个很厉害的算法，几乎任何和信号处理有关的算法都依赖于FFT

0.1 引入：多项式的系数表示法

我们从一个简单的问题中引入FFT：

给定两个多项式，我们希望去计算二者的乘积

中学的时候我们学过，展开相乘就可以了

但是在计算机里面，一个很重要的问题是，如何存储一个多项式？

显然，最自然的方法就是存储多项式的系数，我们把系数映射到一个列表中，这样列表中第k个数字正好对应第k阶系数——>这种表示方法，即是多项式的系数表示法

一般来说，给定两个d阶的多项式，二者的乘积应该是2d阶的多项式，所以如果用naive的乘法分配律来计算，时间复杂度应该是 $O(d^2)$ 【多项式A中的每一项都会跟多项式B中的所有项分别相乘】

那么问题来了，这个算法可以更快一点吗？

0.2 多项式的数值表示法

我们知道，任意的d阶多项式，可以由d+1个点唯一确定

即对于一个p阶多项式

p+1个点确定了之后，多项式的系数可以唯一确定

证明如下：

我们将这d+1个点带入多项式中，得到d+1个方程

将其转化为矩阵&向量的形式

我们可以发现，只要这d+1个x不一样，那么矩阵始终可逆（该矩阵对应的行列式为范德蒙行列式）

于是我们得到了多项式的两种表示方法：

利用值表示法，多项式乘法就变得很简单：

我们知道了乘法之后的阶数为4维，于是我们分别在A(x)和B(x)上取5个点，然后将对应每个点的两个值相乘，得到C在每个点的函数值。然后根据前面的证明，我们知道，这五个点唯一决定了这个乘积多项式的系数

于是我们不难发现，使用值表示法之后，计算多项式乘法的时间，从原来的 $O(d^2)$ 缩短至O(d)

0.3 多项式乘法的框架

于是我们就可以得到多项式乘法的新框架了：

给定两个d阶多项式，我们已经知道了值表示法计算多项式乘法计算多项式乘法更快，所以我们可以先计算两个多项式在2d+1个点上的值

然后将函数值一对一对乘起来，从而得到乘出来的多项式的值表示

然后，最后一步需要做的是，把值表示转换回系数表示

但问题在于，我们如何把系数形式转换成值表示形式？与此同时，如何把值表示形式转化为系数表示形式？这个就是FFT考虑的内容了

1 求值 evaluation

我们先关注从系数表示到值表示的方向

给定d阶多项式和n个点(n≥d+1)，我们想计算多项式在这n个点上的值，最简单粗暴的方法就是随便挑选n个点，一个一个地计算函数值

但是这样的问题在于，每一个点的计算都是O(d)的时间复杂度，加起来的时间复杂度还是 $O(nd)\ge O(d^2)$ ——>这样的话，相当于啥都没做

对于奇函数和偶函数，我们可以取一对一对的相反数，这样可以减少一半的采样点

对于一般的函数，我们可以将其分成奇函数+偶函数的形式

然后我们将奇函数的x提出来，得到两个偶函数的形式

我们将两部分都看成 $x^2$ 的函数，于是可以发现Pe和Po的阶数都降到了原先的一半

那么，对于 $P_e(x^2)$ 和 $P_o(x^2)$ ，这两个又是两个求值问题

而我们一开始取的是一对一对的相反数，所以这里只剩下一半的点了(n/2)

2.1 FFT总结？

我们可以看出来，这是一个递归的思想

总结一下就是，我们想计算多项式P在n个点上的值，这n个点是一对一对的相反数

我们将多项式分成两个部分（两个阶为n/2-1的多项式），每个多项式只需要求n/2个点的值

我们只需要递归地求解这两个分多项式的值，就可以得到原多项式的n个值

如果这一切可行，那么我们的时间复杂度是O(nlogn)【每一层对应点的值相乘还是n，只不过现在从上到下，每一层阶数减半，故只有logn层】

2.2 引入复数的概念

但是至此为止，还是有一个小问题，就是从第一次迭代开始， $P_e(x^2)$ 和 $P_o(x^2)$ 只能取正值，但我们希望新的求指点也可以是相反数

于是我们在这里引入了复数的概念

1的n次方根，用图像表示，可以解释为在复平面上沿着单位元等距排布的一系列点，其中任意两点之间的夹角为 $\frac{2\pi}{n}$

2.2.1 欧拉公式

用欧拉公式，可以很简单地表达这些点：

所以我们找的值就是1，ω，... $\omega^{n-1}$

2.3 FFT总结！

FFT算法的输入是多项式的n个系数 $p_0,\dots,p_{n-1}$ ,其中n是2的幂（也可以不是，只不过复杂一些）
我们取 $\omega=e^{\frac{2\pi i}{n}}$ 为1的n次方根（最底层的递归情况是P(1))
递归的主要命令，就是把多项式拆分成奇函数和偶函数的部分，两部分分别调用函数。此时两个子多项式函数都是n/2阶的，所以对应的求值点是1的n/2次方根
我们假设得到的两部分结果为ye和yo，那么我们可以把这两部分函数值结合一下，计算出原多项式函数在对应点的函数值

结合的核心思想是利用正负对，不过这里我们是n次方根，所以稍作修改

与此同时，我们知道 $-\omega^j=\omega^{j+\frac{n}{2}}$ ，于是再做修改

同时，我们又有

于是进一步，可以写成

2.4 FFT伪代码

2.5 用公式表达FFT和iFFT

已知一个序列 $(x_0,\cdots,x_{N-1})$ ,我们可以用 $\lfloor N/2 \rfloor +1$ 个傅里叶系数表示，其中第k项为

3 interpolation 差值

实际上差值和求值是紧密联系的，我们之间将求值问题表示为矩阵-向量乘积

因为FFT中的x是1的n次方根，所以可以改写为

这个矩阵被称为离散傅里叶变换矩阵DFT

而我们的差值，即取逆即可

参考资料：The Fast Fourier Transform (FFT): Most Ingenious Algorithm Ever? - YouTube

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