题目

题目大意

给你一个序列，对于所有k∈[1,n]k\in [1,n]k∈[1,n]，求长度为kkk的子序列的最大权值，权值为a1−a2+a3−...±aka_1-a_2+a_3-...\pm a_ka1−a2+a3−...±ak

思考历程

这题显然可以背包对吧……
所以就直接背包吧……
比赛的时候我还想到了分治，但由于两边合在一起很慢，所以就直接打暴力了。

正解

题解的线段树做法看得并不是很懂。
所以我就说一个分治的方法。
首先题解有个结论：kkk的子序列必然是k−2k-2k−2的子序列中插入两个数。
记住是插入，而不仅仅是往左右两边扩展。
为什么呢？考虑反证，如果不是这样，就是k−2k-2k−2的子序列中除去若干个数，然后再插入若干的数。这样实际上相当于从k−xk-xk−x的状态转移过来，其中x>2x>2x>2。
所以我们只需要证明从k−2k-2k−2转移过来比更前面的地方转移过来更优。
假设从k−3k-3k−3转移过来（其它的情况类似）。
我们将k−2k-2k−2的序列中按顺序插入xxx和yyy，那么整个序列被分成几个部分AxByCAxByCAxByC，权值为A±x−B±y+CA\pm x-B\pm y+CA±x−B±y+C（我们不需要关系xxx和yyy的正负，BBB是原本的贡献，在插入之后符号要翻过来）。
将k−3k-3k−3的序列中插入xxx和yyy和zzz（我们假设xxx和yyy插入的位置相同），分成：AxByDzEAxByDzEAxByDzE，权值为A±x−B±y+D±z−EA \pm x-B \pm y+D \pm z-EA±x−B±y+D±z−E
比较一下，前半部分抵消了，就变成CCC和D±z−ED \pm z-ED±z−E
它们都可以看做一个整体。如果后面的更优，它肯定会在之前替代CCC。所以前者是更优一些的。
这就证完了。

然后考虑分治。分治的重点是合并左右两个区间的答案。
考虑由sss转移到s+2s+2s+2。设转移sss的时候左边用了s1s_1s1个，右边用了s2s_2s2个。
分类讨论看看新插入的两个点放哪边，就有如下三种情况：

左边s1+2s_1+2s1+2，右边s2s_2s2。
左边s1+1s_1+1s1+1，右边s2+1s_2+1s2+1
左边s1s_1s1，右边s2+2s_2+2s2+2.

根据上面的那个结论，前后两种情况是没有问题的。问题在于第二种情况。
由于是+1+1+1，所以就不能用那个结论。
然而，我们发现，在左边s1s1s1或右边s2s2s2的状态中各插一个，其实也算在左边s1+1s1+1s1+1或右边s2+1s2+1s2+1.的状态中。也就是说，s1+1s1+1s1+1的状态大于等于s1s1s1插一个转移过去的状态。
所以这样操作没有影响。

代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <climits>
#define N 100010
int n,a[N];
int _fmn[N],_fmx[N];
int gmn[N],gmx[N];
inline int at(int *a,int x){return x?a[x]:0;}
void dfs(int l,int r){int *fmn=_fmn+l-1,*fmx=_fmx+l-1;if (l==r){fmn[1]=fmx[1]=a[l];return;} int mid=l+r>>1;dfs(l,mid),dfs(mid+1,r);int *lmn=_fmn+l-1,*lmx=_fmx+l-1,*rmn=_fmn+mid,*rmx=_fmx+mid,s1=0,s2=0;for (int i=2;i<=r-l+1;i+=2){int ts1,ts2,v=INT_MIN;if (s2+2<=r-mid){int tmp=(s1&1?at(lmx,s1)-at(rmn,s2+2):at(lmx,s1)+at(rmx,s2+2));if (tmp>v)v=tmp,ts1=s1,ts2=s2+2;}if (s1+1<=mid-l+1 && s2+1<=r-mid){int tmp=(s1+1&1?at(lmx,s1+1)-at(rmn,s2+1):at(lmx,s1+1)+at(rmx,s2+1));if (tmp>v)v=tmp,ts1=s1+1,ts2=s2+1;}if (s1+2<=mid-l+1){int tmp=(s1+2&1?at(lmx,s1+2)-at(rmn,s2):at(lmx,s1+2)+at(rmx,s2));if (tmp>v)v=tmp,ts1=s1+2,ts2=s2;}gmx[i]=v;s1=ts1,s2=ts2;}s1=0,s2=0;for (int i=2;i<=r-l+1;i+=2){int ts1,ts2,v=INT_MAX;if (s2+2<=r-mid){int tmp=(s1&1?at(lmn,s1)-at(rmx,s2+2):at(lmn,s1)+at(rmn,s2+2));if (tmp<v)v=tmp,ts1=s1,ts2=s2+2;}if (s1+1<=mid-l+1 && s2+1<=r-mid){int tmp=(s1+1&1?at(lmn,s1+1)-at(rmx,s2+1):at(lmn,s1+1)+at(rmn,s2+1));if (tmp<v)v=tmp,ts1=s1+1,ts2=s2+1;}if (s1+2<=mid-l+1){int tmp=(s1+2&1?at(lmn,s1+2)-at(rmx,s2):at(lmn,s1+2)+at(rmn,s2));if (tmp<v)v=tmp,ts1=s1+2,ts2=s2;}gmn[i]=v;s1=ts1,s2=ts2;}if (lmx[1]>rmx[1])s1=1,s2=0,gmx[1]=lmx[1];elses1=0,s2=1,gmx[1]=rmx[1];for (int i=3;i<=r-l+1;i+=2){int ts1,ts2,v=INT_MIN;if (s2+2<=r-mid){int tmp=(s1&1?at(lmx,s1)-at(rmn,s2+2):at(lmx,s1)+at(rmx,s2+2));if (tmp>v)v=tmp,ts1=s1,ts2=s2+2;}if (s1+1<=mid-l+1 && s2+1<=r-mid){int tmp=(s1+1&1?at(lmx,s1+1)-at(rmn,s2+1):at(lmx,s1+1)+at(rmx,s2+1));if (tmp>v)v=tmp,ts1=s1+1,ts2=s2+1;}if (s1+2<=mid-l+1){int tmp=(s1+2&1?at(lmx,s1+2)-at(rmn,s2):at(lmx,s1+2)+at(rmx,s2));if (tmp>v)v=tmp,ts1=s1+2,ts2=s2;}gmx[i]=v;s1=ts1,s2=ts2;}if (lmn[1]<rmn[1])s1=1,s2=0,gmn[1]=lmn[1];elses1=0,s2=1,gmn[1]=rmn[1];for (int i=3;i<=r-l+1;i+=2){int ts1,ts2,v=INT_MAX;if (s2+2<=r-mid){int tmp=(s1&1?at(lmn,s1)-at(rmx,s2+2):at(lmn,s1)+at(rmn,s2+2));if (tmp<v)v=tmp,ts1=s1,ts2=s2+2;}if (s1+1<=mid-l+1 && s2+1<=r-mid){int tmp=(s1+1&1?at(lmn,s1+1)-at(rmx,s2+1):at(lmn,s1+1)+at(rmn,s2+1));if (tmp<v)v=tmp,ts1=s1+1,ts2=s2+1;}if (s1+2<=mid-l+1){int tmp=(s1+2&1?at(lmn,s1+2)-at(rmx,s2):at(lmn,s1+2)+at(rmn,s2));if (tmp<v)v=tmp,ts1=s1+2,ts2=s2;}gmn[i]=v;s1=ts1,s2=ts2;}for (int i=1;i<=r-l+1;++i)fmn[i]=gmn[i],fmx[i]=gmx[i];
}
int main(){freopen("pe.in","r",stdin);freopen("pe.out","w",stdout);scanf("%d",&n);for (int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]);dfs(1,n);for (int i=1;i<=n;++i)printf("%d ",_fmx[i]);return 0;
}

总结

结论是要靠猜的……

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