差分差分方程

1. 差分

差分（difference）又名差分函数或差分运算，差分的结果反映了离散量之间的一种变化，是研究离散数学的一种工具。它将原函数 f(x)f(x)f(x) 映射到 f(x+a)−f(x+b)f(x+a)-f(x+b)f(x+a)−f(x+b) 。

差分运算，相应于微分运算，是微积分中重要的一个概念。

总而言之，差分对应离散，微分对应连续。

差分又分为前向差分、向后差分及中心差分三种。

在社会经济活动与自然科学研究中,我们经常遇到与时间t有关的变量,而人们往往又只能观察或记录到这些变量在离散的t时的值。对于这类变量,如何去研究它们的相互关系,就离不开差分与差分方程的工具。微积分中的微分与微分方程的工具,事实上来源于差分与差分方程.因此差分与差分方程更是原始的客观的生动的材料。

读者熟悉等差数列：a1,a2,a3,⋯,ana_1, a_2, a_3,\cdots,a_na1,a2,a3,⋯,an，其中 an+1=an+d（n=1,2,⋯,n）a_{n+1}= a_n + d（ n = 1,2,\cdots,n ）an+1=an+d（n=1,2,⋯,n），ddd 为常数并称为公差，即 d=an+1−and = a_{n+1} -a_nd=an+1−an , 这就是一个差分, 通常用 D(an)=an+1−anD(a_n) = a_{n+1}- a_nD(an)=an+1−an 来表示，于是有 D(an)=dD(a_n)= dD(an)=d , 这是一个最简单形式的差分方程。

定义. 设变量 yyy 依赖于自变量 ttt ,当 ttt 变到 t+1t + 1t+1 时,因变量 y=y(t)y = y(t)y=y(t) 的改变量 Dy(t)=y(t+1)−y(t)Dy(t)= y(t+1) - y(t)Dy(t)=y(t+1)−y(t) 称为函数 y(t)y(t)y(t) 在点 ttt 处步长为1的(一阶)差分，记作 Dy1=y(t+1)−y(t)Dy1= y(t+1)- y(t)Dy1=y(t+1)−y(t)，简称为函数 y(t)y(t)y(t) 的(一阶)差分,并称 DDD 为差分算子。

差分具有类似于微分的运算性质。

1.1 前向差分（默认）

函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数 f(x)f(x)f(x)，如果在等距节点： xk=x0+kh,(h=0,1,⋯,n)x_k = x_0 + kh,(h=0,1,\cdots,n)xk=x0+kh,(h=0,1,⋯,n)Δf(xk)=f(xk+1)−f(xk)\Delta f(x_k) = f(x_{k+1})-f(x_k)Δf(xk)=f(xk+1)−f(xk)

则称 Δf(xk)\Delta f(x_k)Δf(xk)，函数在每个小区间上的增量 y(xk+1)−y(xk)y(x_{k+1})-y(x_k)y(xk+1)−y(xk) 为 f(x)f(x)f(x) 的一阶前向差分。

在微积分学中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在离散的函数中的等效运算。

差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当是多项式时，前向差分为 Δ\DeltaΔ 算子，一种线性运算。

前向差分会将多项式阶数降低1。

1.2 后向差分

对于函数 f(xk)f(x_k)f(xk)，一阶后向差分为：Δf(xk)=f(xk)−f(xk−1)\Delta f(x_k) = f(x_k)-f(x_{k-1})Δf(xk)=f(xk)−f(xk−1)

1.3 中心差分

对于函数 f(xk)f(x_k)f(xk)，一阶中心差分为：Δf(xk)=12(f(xk+1)−f(xk−1))\Delta f(x_k)=\frac12(f(x_{k+1})-f(x_{k-1}))Δf(xk)=21(f(xk+1)−f(xk−1))

2. 差分方程

differences equations

差分方程是微分方程的离散化。一个微分方程不一定可以解出精确的解，把它变成差分方程，就可以求出近似的解来。

比如 dy+y∗dx=0,y(0)=1dy+y*dx=0,y(0)=1dy+y∗dx=0,y(0)=1 是一个微分方程， xxx 取值 [0,1][0,1][0,1] （注：解为 y(x)=e−x)y(x)=e^{-x})y(x)=e−x); 　要实现微分方程的离散化，可以把x的区间分割为许多小区间 [0,1/n],[1/n,2/n],…[(n-1）/n,1] 　这样上述微分方程可以离散化为：y((k+1）/n)-y(k/n)+y(k/n)*（1/n)=0， k=0,1,2,…,n-1 （n 个离散方程组）　利用y(0)=1的条件，以及上面的差分方程，就可以计算出 y(k/n) 的近似值了。

From: 差分-百度百科

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