BZOJ 5267 特工 (类FWT)

题意

题解

从大到小枚举\(l\), 把一个序列从\(2^{l+1}\)分成两个独立的\(2^l\)，去除两半的影响。
设去除前的序列为\(b\), 去除后序列为\(b'\)
则有\(b_{2^{l+1}-1}-b_{2^l-1}=\sum^{2^{l+1}-1}_{i=2^l}b_i\)
考虑左边的一个位置\(d\)与右边的位置\(d+2^l\)相对应
考虑一个序列\(s_0\)的第\(i\)位为\(\text{bitcount}((i\ \text{or}\ d)\ \text{xor}\ i)\)，\(s_1\)为把\(s_1\)的\(d\)换成\(d+2^l\)的结果
显然两个序列左半部分完全一样，右半部分完全相反
设\(z\)为\(b'\)与\(s_0\)(或\(s_1\))左半部分对应位置乘积之和，\(y_0,y_1\)分别为\(b'\)与\(s_0,s_1\)右半部分对应位置乘积之和
则\(b'_d=z,b'_{d+2^l}=y_1\)
且有方程\(z+y_0=b_d,z+y_1=b_{d+2^l},y_0+y_1=b_{2^{l+1}-1}-b_{2^l-1}\)
解之即可。

时间复杂度\(O(n\log n)\).

代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<cassert>
#define llong long long
using namespace std;char c[40000010];
int ns;
inline llong read(){while(c[ns]<'0'||c[ns]>'9')ns++;llong x=0;while(c[ns]>='0'&&c[ns]<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+c[ns++]-'0';return x;
}const int N = 1<<20;
llong a[N+3];
int n;int main()
{c[fread(c,1,40000010,stdin)]=0; //input optimizationn = read();for(int i=0; i<n; i++) a[i] = read();for(int i=(n>>1); i; i>>=1){for(int j=0; j<n; j+=(i<<1)){llong tmp = a[j+(i<<1)-1]-a[j+i-1];for(int k=0; k<i; k++){llong x = a[j+k],y = a[j+i+k];a[j+k] = (-tmp+x+y)>>1,a[j+i+k] = (tmp-x+y)>>1;}}}for(int i=0; i<n; i++) printf("%lld ",a[i]); puts("");return 0;
}

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