20211028 Stabilizability

《Modern Control Engineering, Fifth Edition》

Uncontrollable System. An uncontrollable system has a subsystem that is physically disconnected from the input.

Stabilizability. For a partially controllable system, if the uncontrollable modes are stable and the unstable modes are controllable, the system is said to be stabilizable. For example, the system defined by
[x˙1x˙2]=[100−1][x1x2]+[10]u\left[\begin{array}{c} \dot{x}_{1} \\ \dot{x}_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right] u [x˙1x˙2]=[100−1][x1x2]+[10]u
is not state controllable. The stable mode that corresponds to the eigenvalue of −1-1−1 is not controllable. The unstable mode that corresponds to the eigenvalue of 1 is controllable. Such a system can be made stable by the use of a suitable feedback. Thus this system is stabilizable.

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