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文 | 苏剑林

编 | 夕小瑶

在训练模型的时候，我们需要损失函数一直训练到0吗？显然不用。一般来说，我们是用训练集来训练模型，但希望的是验证集的损失越小越好，而正常来说训练集的损失降低到一定值后，验证集的损失就会开始上升(即过拟合），因此没必要把训练集的损失降低到0。

为了对抗这种过拟合现象，提高模型的测试集表现（即泛化能力），一种很自然的想法是提前终止（early stopping），也就是当观测到模型的验证集表现不降反升时，果断停止训练。这也是如今大模型跑小数据时的最常用做法。

既然如此，在模型训练loss已经到达某个阈值之后，我们可不可以做点别的事情来继续提升模型的测试集性能呢？一篇发表于机器学习顶会ICML2020上的论文《Do We Need Zero Training Loss After Achieving Zero Training Error?》^[1]回答了这个问题。

不过这篇论文的回答也仅局限在“是什么”这个层面上，并没很好地描述“为什么”，另外看了知乎上kid丶^[2]大佬的解读，也没找到自己想要的答案。因此自己分析了一下，记录在此。

思路描述

论文提供的解决方案非常简单，假设原来的损失函数是，现在改为：

其中是预先设定的阈值。当时，这时候就是执行普通的梯度下降；而时，注意到损失函数变号了，所以这时候是梯度上升。因此，总的来说就是以为阈值，低于阈值时反而希望损失函数变大。论文把这个改动称为“Flooding”。

这样做有什么效果呢？论文显示，训练集的损失函数经过这样处理后，验证集的损失能出现“二次下降（Double Descent）”，如下图。简单来说就是最终的验证集效果可能更好些。

左图：不加Flooding的训练示意图；右图：加了Flooding的训练示意图

效果

从上图可以看出来这个方法的理想很丰满，那么实际表现如何呢？

作者这里在MNIST、CIFAR等众多CV领域的benchmark上进行了实验，且如下图所示

图中中间一栏是没有加flooding的结果（early stopping和weight decay的四种排列组合），右边一栏是加了flooding的结果（四种排列组合的基础上都加上flooding）。可以看到加了flooding后，大部分情况下模型都能比之前有更好的测试集表现。

个人分析

如何解释这个方法的有效性呢？可以想象，当损失函数达到之后，训练流程大概就是在交替执行梯度下降和梯度上升。直观想的话，感觉一步上升一步下降，似乎刚好抵消了。事实真的如此吗？我们来算一下看看。假设先下降一步后上升一步，学习率为，那么：

我们有

（滑动查看完整公式）

近似那一步是使用了泰勒展式对损失函数进行近似展开，最终的结果就是相当于损失函数为梯度惩罚、学习率为的梯度下降。更妙的是，改为“先上升再下降”，其表达式依然是一样的（这不禁让我想起“先升价10%再降价10%”和“先降价10%再升价10%”的故事）。因此，平均而言，Flooding对损失函数的改动，相当于在保证了损失函数足够小之后去最小化，也就是推动参数往更平稳的区域走，这通常能提供提高泛化性能（更好地抵抗扰动），因此一定程度上就能解释Flooding其作用的原因了。

本质上来讲，这跟往参数里边加入随机扰动、对抗训练等也没什么差别，只不过这里是保证了损失足够小后再加扰动。读者可以参考《泛化性乱弹：从随机噪声、梯度惩罚到虚拟对抗训练》^[3]了解相关内容，也可以参考“圣经”《深度学习》第二部分第七章的“正则化”一节。

方法局限性

虽然这个方法看起来还挺work，但是不能忽视的一个细节是，作者在做上面表格里的每组flooding的实验时，都对flooding的超参b调节了20组（从0.01~0.20），如下

这在数据规模很小时实验代价还好，但单次实验代价较高时，可能就不那么实用了。

继续脑洞

有心使用这个方法的读者可能会纠结于的选择或调超参的实验代价，不过笔者倒是有另外一个脑洞：无非就是决定什么时候开始交替训练罢了，如果从一开始就用不同的学习率进行交替训练呢？也就是自始至终都执行

其中，这样我们就把去掉了（当然引入了的选择，天下没免费午餐）。重复上述近似展开，我们就得到

（滑动查看完整公式）

这就相当于自始至终都在用学习率来优化损失函数了，也就是说一开始就把梯度惩罚给加了进去。这样能提升模型的泛化性能吗？笔者简单试了一下，有些情况下会有轻微的提升，基本上都不会有负面影响，总的来说不如自己直接加梯度惩罚好，所以不建议这样做。

文章小结

本文简单介绍了ICML2020一篇论文提出的“到一定程度后就梯度上升”的训练策略，并给出了自己的推导和理解，结果显示它相当于对参数的梯度惩罚，而梯度惩罚也是常见的正则化手段之一。

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参考文献

[1] Do We Need Zero Training Loss After Achieving Zero Training Error?: https://arxiv.org/abs/2002.08709

[2] kid丶: https://zhuanlan.zhihu.com/p/163676138

[3] 泛化性乱弹：从随机噪声、梯度惩罚到虚拟对抗训练: https://kexue.fm/archives/7466