今天将和大家一起学习具有很高知名度的SNGAN。之前提出的WGAN虽然性能优越，但是留下一个难以解决的1-Lipschitz问题，SNGAN便是解决该问题的一个优秀方案。我们将先花大量精力介绍矩阵的最大特征值、奇异值，然后给出一个简单例子来说明如何施加1-Lipschitz限制，最后一部分讲述SNGAN。

作者&编辑 | 小米粥

在GAN中，Wasserstein距离比f散度拥有更好的数学性质，它处处连续，几乎处处可导且导数不为0，所以我们更多的使用Wasserstein距离。在上一期的结尾，我们得到critic（判别器）的目标函数为：

本篇所讲的SNGAN便是一种“严格”地解决了判别器1-Lipshcitz约束的方法。

1 最大特征值（奇异值）

我们从矩阵的特征值、奇异值开始说起。在线性代数中，Ax=b表示对向量x做矩阵A对应的线性变换，可以得到变换后的向量b。如果x为矩阵A对应的特征向量，则有：

即对特征向量x做矩阵A对应的线性变换的效果是：向量方向不变，仅长度伸缩λ 倍！比如，对

两个特征值、特征向量分别为：

线性变换作用在特征向量的效果如下：

对于一般向量x，对其线性变换的中间运算过程可以分解为三步。例如对于计算Ax，其中x=[0,1]，先将x分解到两个特征向量上：

然后在两个特征向量方向上分别进行伸缩变换，有：

最后再进行简单的向量合成，可有：

一般的，对于非奇异n阶方阵，有n个特征向量和与之对应的特征值，故n阶方阵A对应的线性变换操作其实可以分解成三步：将向量x先分解到n个特征向量对应的方向上（本质是求解x在以特征向量组成的基上的表示），分别进行伸缩变换（在特征向量组成的基上进行伸缩变换），最后进行向量合成（本质是求解得到的新向量在标准基上的表示）。这其实就是在描述熟悉的矩阵特征值分解：

特征值是对应于方阵的情况，将其推广至一般矩阵，便可引出奇异值。奇异值分解形式为：

简单说，特征值分解其实是对线性变换中旋转、缩放两种效应的归并，奇异值分解正是对线性变换的旋转、缩放和投影三种效应的一个析构（当V的维度大于U的维度时存在投影效应）。

说了这么多，其实是为了直观地解释一个问题，对于任意单位向量x，Ax的最大值(这里使用向量的2范数度量值的大小)是多少？显然，x为特征向量v2时其值最大，因为这时的x全部“投影”到伸缩系数最大的特征向量上，而其他单位向量多多少少会在v1方向上分解出一部分，在v1方向上只有2倍的伸缩，不如在v2方向上4倍伸缩的值来的更大。这样，我们可以得到一个非常重要的式子：

其中σ (A)表示A的最大特征值（奇异值），也称为A的谱范数。

2 Lipshcitz限制

所谓Lipshcitz限制，在最简单的一元函数中的形式即:

或者也可以写成：

直观上看，它要求f(x)任意两点之间连线的“斜率”绝对值小于Lipshcitz常数k。在WGAN中要求k=1，1-Lipshcitz限制要求保证了输入的微小变化不会导致输出产生较大变化。我们常见的函数，比如分段线性函数|x|，连续函数sin(x)都显而易见的满足该限制：

我们以一个最简单的例子来展示一下，如何使用谱范数施加1-Lipshcitz限制。考虑f(x)=Wx，其中

显然，f(x)=Wx不满足1-Lipshcitz限制，利用第一部分的结论，考虑到

那么若将W整体缩小4倍，

即可以得到：

可以看出，虽然线性函数f(x)=Wx不满足1-Lipshcitz限制，但是可使用谱范数将W的”缩放大小“限定为小于等于1，（有点类似于向量的归一化操作）这样处理后的f*(x)可以满足1-Lipshcitz限制。接下来，我们将对这条思路进行补充、推广，最后得到SNGAN将是显而易见的事情了。

3 SNGAN

通常在神经网络中的每一层，先进行输入乘权重的线性运算，再将其送入激活函数，由于通常选用ReLU作为激活函数，ReLu激活函数可以用对角方阵D表示，如果Wx的第i维大于0，则D的第i个对角元素为1，否则为0，需要注意D的具体形式与W,x均有关系，但是D的最大奇异值必然是1。

因此，一般而言，即使神经网络的输出是非线性的，但是在x的一个足够小的邻域内，它一个表现为线性函数Wx，W的具体形式与x有关。真实的判别器f(x)的函数图像在比较小的尺度上来看应该是类似这种形式的分段函数：

考虑到对于任意给定的x，均有：

整体标记判别器各层的权值、偏置项：

那么可以得到：

根据：

可得到：

不必像第二部分所描述办法整体求解W的谱范数，充分利用上述不等式，我们只需要计算每层的权值矩阵的最大奇异值，即可完成1-Lipshcitz限制。

综上，有结论：对于任意x

为了严格起见，需要说明，f(x)在x的任意邻域内都满足1-Lipshcitz限制，则f(x)在定义域上满足1-Lipshcitz限制。

其实这里有一个遗留的小问题，如何快速求解超大矩阵A的最大奇异值。在原论文中使用了一种幂方法(power method)，随机给两个初始变量，然后令：

则经过数次迭代，便有

我们用求最大特征值的例子来辅助理解一下，A对向量x的线性变换的实质是对x在不同的特征向量方向进行伸缩，由于在不同的特征向量方向进行伸缩的幅度不同，造成的结果是：不断对x做A对应的线性变换，则x的方向不断靠近伸缩幅度最大的特征向量的方向，如下图

则经过足够次数的迭代，得到的新的向量方向与伸缩幅度最大的特征向量的方向重合，故每次迭代结果只差一个常数，即最大特征值。

[1] Yoshida, Yuichi , and T. Miyato . "Spectral Norm Regularization for Improving the Generalizability of Deep Learning." (2017).

[2] Miyato, Takeru , et al. "Spectral Normalization for Generative Adversarial Networks." (2018).

[3]Wasserstein GAN and the Kantorovich-Rubinstein Duality.  https://vincentherrmann.github.io/blog/wasserstein/

总结

这篇文章带领大家一起学习了SNGAN，学习了特征值和奇异值相关问题，学习如何使用谱范数解决1-Lipschitz限制，并推导了SNGAN，最后给出了一个快速求解矩阵最大奇异值的方法。下一期的内容将比较“数学”一点，介绍一个个人非常喜欢的统一理论，它将WGAN和诸多GAN纳入一个框架。

下期预告：IPM与xGAN

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